数学を教えてください。

質問

袋の中に黒石が２個、白石が４個、合計６個の石が入っている。この袋から同時に２個の石を取り出し、次のルールで得点を決める。(黒石が２個出たら２点) (黒石が１個と白石が１個出たら１点) (白石が２個出たら０点)
得点を決め、石を袋に戻すまでを１回の試行とする。
(１)１回の試行で、得点が２点となる確率、得点が１点となる確率を求めてください。
(２)この試行を２回行ったときの得点の積をXとする。X＝２となる確率、X＝０となる確率をそれぞれ求めてください。
(３) (２)のXの期待値を求めてくださいという問題を解いてみると、

(１)得点が２点になるのは(２/６）×(２/６）＝１/9
得点が１点となるのは、(２/６)×(４/６)＋(４/６)×(２/６)＝４/９

(２)積がX＝２になる得点２×得点１、得点１×得点２となればよいので、　　(１)より(１/９)×(４/９）＋(４/９)×(１/９)＝８/８１
　　積がX＝０になるのは得点０×得点１、得点０×得点２、得点０×得点０、得点１×得点０、得点２×得点０なので、(４/９)×(４/９)＋(４/９)×(１/９)＋(４/９)×(４/９)＋(４/９)×(４/９)＋(１/９)×(４/９)＝５６/８１
(３)X＝４になるのは得点２×得点になので(１/９)×(１/９)＝１/８１
　　X＝１になるのは得点１×得点１なので、(４/９)×(４/９)＝１６/
８１

Xの期待値は、
４×１/８１＋２×８/８１＋１×１６/８１＋０×５６/８１＝１２/27
もしも、間違っていたりわかりにくかったらわかりやすいやり方を教えてください。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

（１）
２個の石を同時に取るのと、１個取って続けてもう１個取るのは同じである、ということはわかりますよね？

得点が２点になるのは、
２／６×２／６　ではありません。
２／６×１／５　＝　１／１５　です。

得点が１点になるのは、
２／６×４／６　＋　４／６×２／６　ではありません。
２／６×４／５　＋　４／６×２／５　＝　８／１５　です。

ついでに、（後の計算のために）
得点が０点になるのは、
１　－　１／１５　－　８／１５　＝　２／５

（２）Ｘ＝２　となる確率
・１回目２点、２回目１点は、１／１５×８／１５
・２回目１点、２回目２点は、８／１５×１／１５
合わせて　１６／２２５　＝答え

（２）Ｘ＝０　となる確率
・１回目０、２回目も０　　２／５×２／５＝４／２５
・１回目０、２回目０以外　２／５×（１－２／５）＝６／２５
・１回目０以外、２回目０　（１－２／５）×２／５＝６／２５
合わせて　１６／２５　＝答え

（３）
Ｘ＝４を超えることはなく、Ｘ＝３　になることはないので、
Ｘ＝０，１，２，４　の４通りの確率が必要ですね。
Ｘ＝２　と　Ｘ＝０　は済んでいるので・・・

Ｘ＝４（１回目も２回目も２点）となる確率
１／１５×１／１５　＝　１／２２５

Ｘ＝１（１回目も２回目も１点）となる確率
８／１５×８／１５　＝　６４／２２５

というわけで、出揃いました
Ｘ＝０　１６／２５（＝１４４／２２５）
Ｘ＝１　６４／２２５
Ｘ＝２　１６／２２５
Ｘ＝４　１／２２５
足して　２２５／２２５＝１　になっていることをご確認ください。

期待値は、
（１×６４　＋　２×１６　＋　４×１）／２２５　＝　１００／２２５
　＝　４／９

回答No.2

kumipapa

普通は#1さんのように組み合わせで考えると思いますが、質問者さんのように２個を順番に取り出す確率を考えても別に構わない。
ただし、過ちアリ。
＞　(１)得点が２点になるのは(２/６）×(２/６）＝１/9
というのは、石を１個取り出し、色を確認したらそれを戻してまた１個取り出した場合に２個とも黒であるの確率。しかし、「２個同時に取り出す」場合の確率は２個を順に取り出すと考えても同じではあるけれど、１個目の石を戻してはいけない。だから、１個目が黒の確率は 2/6　ですが、２個目が黒の確率は 1/5 となります（残り５個のうち１個が黒だから）
故に、２個取り出したときに２個とも黒の確率は (2/6)×(1/5) = 1/15
＞　得点が１点となるのは、(２/６)×(４/６)＋(４/６)×(２/６)＝４/９
これも同様に、
(2/6)×(4/5) + (4/6)×(2/5) =16/30 = 8/15

（２）、（３）は考え方自体は合っていると思います。

回答No.1

nomb

この手の問題は組み合わせを使います。
nCpというやつです。
問(1)の解答を載せておきます。
問(1)がわかれば(2)、(3)もわかると思います。

袋の中に石が６個入っているので、同時に２個取り出したときの
組み合わせは全部で
6C2＝15通り
あります。

また、同時に２個取り出したとき、両方黒であるような取り出し方は全部で１通りです。従って、２点となる確率は、
１/6C2＝1/15

一方、黒石２個から黒石１個を選ぶ、及び白石４個から白石１個を選ぶ
組み合わせはそれぞれ
2C1＝2通り
4C1＝4通り
従って、１点となる確率は
(2C1*4C1)/6C2＝(2*4)/15＝8/15
となります。