この積分はできるのでしょうか？

質問

y=a/(b-x^c)
a,b,cは定数です。

この関数の積分はできるのでしょうか？

できるのでしたら、どの用に解けば良いのでしょうか？

教えて下さい。

宜しくお願い致します。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

岩波の「数学公式 I 」を良く見たら、p.91 に以下の不定積分が出ていました。
　　　　I = ∫x^m/( x^p ± 1 ) dx --- (1)
問題の積分で、x^c = b*X^c とおけば
　　　∫a/( b - x^c ) dx = -a*b^( 1/c - 1 )*∫dx/( x^c - 1 )
ですので、式(1) のm = 0 の場合の - 符号に相当します。

岩波の「数学公式 I 」では、p -1 や p までの和が使われているので、 p は自然数だと思います。

（１） c = 2*p、0 ≦ m ＜ 2*p + 1の場合
　　　　I = ∫x^m/{ x^(2*p) - 1 } dx
　　　　 = 1/( 2*p )*ln| x - 1 | + (-1)^( m + 1 )/( 2*p )*ln| x + 1 |
　　　　　 + 1/( 2*p )*Σ[ i = 1 → p-1 ] cos{ i*( m+ 1 )*π/p }*ln| x^2 - 2*x*cos( i*π/p ) + 1 |
　　　　　 + 1/p*Σ[ i = 1 → p-1 ] sin{ i*( m + 1 )*π/p }*arctan[ { cos( i*π/p ) - x }/sin( i*π/p ) ]

（２） c = 2*p + 1、0 ≦ m ＜ 2*p の場合
　　　　I = ∫x^m/{ x^(2*p + 1 ) - 1 } dx
　　　　 = 1/( 2*p + 1 )*ln| x - 1 | + (-1)^( m + 1 )/( 2*p + 1 )*ln| x + 1 |
　　　　　　 + 1/( 2*p )*Σ[ i = 1 → p ] cos{ 2*i*( m+ 1 )*π/( 2*p + 1 ) }*ln| x^2 - 2*x*cos{ 2*i*π/( 2*p + 1 ) } + 1 |
　　　　　　 + 2/p*Σ[ i = 1 → p ] sin{ 2*i*( m + 1 )*π/( 2*p + 1 ) }*arctan[ { cos( 2*i*π/( 2*p + 1 ) ) - x }/sin( 2*i*π/( 2*p + 1 ) ) ]

お礼

お礼が遅くなり、申し訳ございません。
大変に参考になりました。
PCで積分をしようと諦めていたのですが。
本当に助かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

inara1

岩波の数学公式 I にも出ていませんね。
手元の数式処理ソフトによると
　　　∫a/( b - x^c ) dx = a*x*LerchPhi( x^c/b, 1, 1/c )/( b* c)
LerchPhi 関数とは
　　　LerchPhi( A, B, C ) = Σ[ n = 0 ～ ∞ ] ( A^n )/( C + n )^B
だそうです。 | x^c/b | < 1 や 0 < c でないと収束しないのでしょうが、数値計算するだけならこの式でできるでしょう。。

c が自然数の場合
　　　c=2　→ a*arctanh(x/(sqrt(b)))/(sqrt(b)) = a*(1/2*ln(x/(sqrt(b))+1)-1/2*ln(1-x/(sqrt(b))))/(sqrt(b))
　　　c=3　→ -1/3*a*ln(x-b^(1/3))/(b^(2/3))+1/6*a*ln(x^2+x*b^(1/3)+b^(2/3))/(b^(2/3))+1/3*a*sqrt(3)*arctan(1/3*sqrt(3)*(2*x/(b^(1/3))+1))/(b^(2/3))
　　　c=4→ 1/4*a*ln((x+b^(1/4))/(x-b^(1/4)))/(b^(3/4))+1/2*a*arctan(x/(b^(1/4)))/(b^(3/4))
でした（excelで計算できるよう、()は同じ種類のままにしています）。

ｃ=5 以降 は式が長くなるので書きませんが、こういう式で表わされるのは、c=6 までで、c=7以降は
　　　a*sum(_R*ln(x+7*b*_R),_R = RootOf(823543*b^6*_Z^7+1))
という形式の解でした（意味不明）。

お礼

お礼が遅くなり申し訳御座いません。
早速の回答ありがとうございました。
「数式処理ソフト」なんてあるんですね。
知り合いで持っている人がいるか、聞いてみます。
それと、
ｃは有理数ですので、何か別のやり方を考えてみます。
本当にありがとう御座いました。

回答No.1

ushioni

ぱっと見、cの値によって劇的に不定積分が変わりそうですね。
計算してませんが、以下、多分、
c=0のときは、xの一次式、
c=1のときは、対数関数
c=2のときは、真数が分数の対数関数？
c=3のときは、対数関数と、正接関数っぽいものの和？
cが無理数とかになった場合はやばそうです。

なので、公式で表すのは大変な気がします。

お礼

お礼が遅くなり申し訳御座いません。
早速の回答ありがとうございました。
ｃは有理数で、いろいろと変化しますので、積分はとても大変だということが実感できました。
別の方法も模索してみます。