変数変換について

質問

大学の講義で変数変換(v,u)|→(x(u,v),y(u,v))は
dxdy=|J|dudv (Jはヤコビアン)
となると習いました。
では、この変換を(x(u,v),y(u,v))|→(x(u,v),v)と(x(u,v),v)|→(x(u,v),y(u,v))の合成と見なしたとき、どのような計算をすれば
dxdy=|J|dudv
となるのでしょうか。
dxdv=(∂x/∂u)dudvとdxdy=(∂y/∂v)dxdv
を使えば良いことは分かるのですが、どうしても答えが一致しません。
よろしくお願いします。

回答No.4

Tacosan

「∂y/∂v=∂x/∂v・∂y/∂x ということでしょうか。」の左辺の ∂y/∂v が何を意味するのか分かりませんが (#3 を読めば「2つの異なる ∂y/∂v が存在する」ことがわかるはず. どっち?), 実際に計算してみればいいんじゃないでしょうか?

形式的には全微分から計算できそう.

回答No.3

Tacosan

すみません, #2 よりもっと簡単に説明できますね.

つまり, 一発で (v,u)|→(x(u,v),y(u,v)) と変換するときに, ヤコビアンの中に ∂y/∂v が出てきます. 一方 2段階で (v, u) |→(x(u,v),v)|→(x(u,v),y(u,v) と変換するときの後半に dxdy=(∂y/∂v)dxdv の形で ∂y/∂v が出てきます.

この 2つの ∂y/∂v が, 実は違う. 例えば, 単純な変数変換
x = u+v,
y = u-v
を考えるとわかる.

お礼

∂y/∂v=∂x/∂v・∂y/∂x
ということでしょうか。

回答No.2

Tacosan

「yをy(x,v)としてxを固定して計算していたと思います」
と書かれていますが, この x 自身が v に依存してますよね (x(u,v) という表記はそう推測させる). とすれば, 「v を変えると x も変化する」と考えるのが妥当ではありませんか?

あるいは, y(x,v) とするなら「x を変えたときの y の変化」を含む方が自然ではないでしょうか?

回答No.1

Tacosan

まず確認ですが, 変数変換 (v,u)|→(x(u,v),y(u,v)) を 2段階に分けるときは
(x(u,v),y(u,v))|→(x(u,v),v)と(x(u,v),v)|→(x(u,v),y(u,v))
ではなく
(v,u)|→(x(u,v),v)と(x(u,v),v)|→(x(u,v),y(u,v))
でしょうか? でそうだとしたら, 後半はどうするつもりなんでしょうか? y が依存するはずの u は既に消えてなくなっているんですけど....

お礼

すいません。(v,u)|→(x(u,v),v)と(x(u,v),v)|→(x(u,v),y(u,v))であってます。
後半はたしか
dxdy=(∂y/∂v)dxdv
のyをy(x,v)としてxを固定して計算していたと思います。