エルミート演算子

質問

こんばんは。量子力学（数学かも）に関する質問です。
学校でこのような問題が出ました。
「Aがエルミートであるとき，A^2（Aの２乗）もエルミートであることを証明せよ。」
これがどうしても分かりません。
ご存知の方是非教えてください。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>「Aがエルミートであるとき，A^2（Aの２乗）もエルミートであることを証明せよ。」
-----------------------------------------------------------
><f|A†|g>=<g|A|f>*のとき，A†=AとなったときＡをエルミート演算子といいます。

内積空間H における定義らしいので、Aがエルミート(A†=A) なら、
<Aξ, η> = <ξ, Aη>　　　(任意のξ, η ∈ H)
が成立すると考えてよさそうです。

その条件下で、
<(AA)ξ, η> = <Aξ, Aη> = <ξ, A(Aη)>　　　　　　(任意のξ, η ∈ H)
なのは明らか。つまり、(AA)† = (AA)。

…じゃいけないのでしょうか？

お礼

成程。エルミートである条件そう使えばいいんですね。
ありがとうございました。

回答No.4

phusike

No.2に回答がありますが、補足要求だけして回答しないのも悪いので、
一応bra-ket記法の別解を記します。
ただ、この問題をbra-ket記法で書くと却って煩雑になるので、
回答としてはNo.2の方がふさわしいかもしれません。

<φ|A†|ψ>は<φ| = |φ>†とA†|ψ>の内積とも
<φ|A†と|ψ>の内積とも考えられますが、
(φ, A†ψ) = (Aφ, ψ) であることから、
<φ|A† = (A|φ>)† といえます。

また、<φ|ψ> = <ψ|φ>* = (|ψ>†<φ|†)* も自明でしょう。

この2つを用いると、
<φ|A†|ψ> = [|ψ>†(<φ|A†)†]* = <ψ|A|φ>* が示せます。
これは、Aがエルミートであるか否かに関係なく成立するものです。
Aがエルミートの時は A†=A ですので、
特に <φ|A|ψ> = <ψ|A|φ>* となります。

答案を書いてみると、
<f|(A^2)†|g>
= <g|A^2|f>* （∵ <φ|X†|ψ> = <ψ|X|φ>* ）
= [ (<g|A)(A|f>) ]*
= (A|f>)†(<g|A)† （∵ <φ|ψ> = (|ψ>†<φ|†)* ）
= (<f|A†)(A†|g>)
= (<f|A)(A|g>)
= <f|A^2|g>
一方 <f|(A^2)†|g> = <g|A^2|f>* ですので、
<f|A^2|g> = <g|A^2|f>* であることが示され、従ってA^2のエルミート性が示されます。

裏技的解法ですが、(AB)†=B†A†となることを認めれば、
（もちろん、これは別途証明が必要な主張です）
これの系として直ちに (A^2)† = A†A† = A^2 が示されます。

なお、固有値が全て実数だからと言ってエルミートとは限りません。
例えば、行列[ (1,1), (-2,4) ]の固有値は2,3ですが、
当然この行列はエルミートでも対称でもありません。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
エルミート性を求めるのにもいろいろな解答方法があるんですね。
皆さんありがとうございました。

回答No.3

connykelly

エルミート演算子は実数の固有値を持ちことからやってみてはどうでしょうか。具体的には、A|ψ>=a|ψ>　固有値aは実数ですね。左からAをかけるとA^2|ψ>=aA|ψ>=a^2|ψ>で、A^2は実数の固有値a^2を持つことになります。このことからA^2はエルミート演算子であることになります。

お礼

その方法は全く思いつきませんでした。
本当にありがとうございます。

回答No.1

phusike

(1)演算子Aがエルミートであることの定義を書いて下さい（教科書に載っているはずです）。
(2)その定義を用いて、できるところまで証明を進めてみて下さい。

(1)(2)のできるところまで自分でやって、補足に記入して下さい。

補足

(1)エルミートの定義は
<f|A†|g>=<g|A|f>*のとき，A†=AとなったときＡをエルミート演算子といいます。
(2)それで，頑張って解いているのですが，わかりません。
ちなみにAが具体的な形だと解けるんです。
（ポテンシャルvとか，運動量px=-ih・d/dxなど。）
しかしＡの形が特に決まっていない今回の場合，どう取り扱っていいのか良く分からないのです。