二階微分演算子 不変性

質問

量子力学を勉強していたところ，中心力場のSchrodinger方程式という章で（猪木河合さんの料理力学IのP.127），「二階の微分演算子で並進および回転に対して不変であるものはラプラシアンのみである」という記述があります．証明方法などをご存じの方は教えてただけると幸いです．

回答No.1

g0m4 · ベストアンサー

簡単のため正定値計量の三次元空間を考えます。
また、微分演算子の作用空間として関数空間L^2(R^3)を仮定します。というか、この空間をとるのは微分演算子の定義みたいなものなのでよいでしょう。するとまず、回転及び並進はそれぞれSO(3),R^3の半直積群のL^2(R^3)上の表現として表されます。従ってそのLie代数はangular momentum J_i及びmomentum p_iです。
すると微分演算子Oが回転、並進に対して不変というのは、ユニタリオペレータUを用いて書けます。回転及び並進でノルムは変わらないので、関数をfとすればOf=OUfすなわちU†OU=Oがその条件になります。
Lie群の半直積群はLie群をなしていますから、infinitesimalな変換U=1 + iJ_aω_a - ip_aε_aを考えれば十分でしょう。従ってここから、二階の微分演算子Oに対し、[J_a, O]=0,[p_a, O]=0が出てきます。あとはO=∇^2 + b_i∂_i + c_ij∂_i∂_jと置いて、p,Jに実際の表現(要するに-i∂_iと-ε_ijk r_j ∂_k)を代入し、適当なi,jで計算してやればb=c=0がわかるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます.
リーマン幾何学の範囲ですか？
本で調べながら理解したいと思います.