楕円の式変形

質問

x=acos(ωt+α1)
y=bcos(ωt+α2）
この2式をωtに依存しない形に変形し、楕円の式にしたいのですが、導くことができません。
三角関数の公式を使うわけでもないですし、既存の楕円の式に当てはめてもα1、α2が邪魔でうまくいきません・・・。
回答お願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

詳しくありませんが、変形だけなら
ωt+α1=A、α2-α1=αとおけば
ｘ＝acosA、ｙ＝bcos(A+α)＝bcosAcosα-bsinAsinα　より
ｙの式で一部移項・両辺２乗、cosA=x/aを代入して
(y-bcosAcosα)^2=(bsinAsinα)^2
y^2-(2bcosα)x/a+(b^2cos^2α)x^2/a^2=b^2sin^2α{1-(x^2/a^2)}
y^2-(2bcosα)xy/a+(b^2cos^2α)x^2/a^2+(b^2sin^2α)x^2/a^2
-b^2sin^2α=0
整理して
b^2x^2-(2abcosα)xy+a^2y^2-a^2b^2sin^2α=0
∴b^2x^2-(2abcos(α2-α1))xy+a^2y^2-a^2b^2sin^2(α2-α1)=0
２次曲線の係数の計算a^2b^2-(abcos(α2-α1))^2＞０なので
楕円型と思います。

お礼

ありがとうございます！参考にさせていただきます。

回答No.2

pontiac_gp

少なくとも初期位相α1,α2の差が±π/2ならば楕円になります。
その場合
x = a・cos(wt + α1)
y = b・cos(wt + α1 ± π/2) = ±b・sin(wt + α1)
なので、(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 を満たします。

他の場合はちょっとわかりません。
他の位相差の場合でも楕円になるのかもしれません。
ただ dx/dt とdy/dt がゼロになるタイミングを考えると
仮にあったとしても (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 を回転させたもの
（＝軸がx軸・y軸でない楕円）しかないとは思います。

不甲斐ないですが私にわかるのはここまでです。

お礼

わかりました。参考にさせていただきます。
回答ありがとうございます。

回答No.1

pontiac_gp

失礼ですが、問題の書き写しミスはないですか。
これでは楕円になる保証がないと思うのですが。

例えばα1=α2=0なら
x = acos(ωt)
y = bcos(ωt)

なので、(x,y)は直線y=(b/a)xの一部（ |x|≦aの範囲 ）になってしまいますが。

あるいは、楕円になるようにα1とα2の関係を定めることも
問題に含まれているのでしょうか。

補足

先ほど問題を確認したのですが、表記に間違いはありませんでした。
もともとは数学ではなく、オシロスコープに上記二つの波形を入力したときの図形を求める問題なのですが、それでも楕円にはならないのことには変わりないですかね・・・？あるいはcosでなくsinならなるのでしょうか・・・。
そもそも先生が問題文を書き間違えたという可能性もありますが、明日明後日はセンター試験なもので、どうにもコンタクトがとれず・・・。