２つの単振動の組み合わせ

質問

x=acos(ωt)
y=bcos(ωt+φ)

でφ＝π/4としたときに、点(x,y)は右回りの斜めの楕円運動、
φ＝－π/4のときは左回りの斜めの楕円運動をするということを
示したい。

http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikigaku/Lissajous/Lissajous.html

楕円運動をすることまではOKなのですが、どっちむきに回るのかを知るにはどうしたらいいのでしょうか。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

どちらに回転するかは位相の±で決まります。
x=acos(ωt)を基準にすると
xはt=0から時間の経過とともに
位相ωtは0→π/4→π/2→3π/4→π→5π/4→3π/2→7π/4→2π
と変化すると
振幅がa→a/√2→0→-a/√2→-a→-a/√2→0→a/√2→a
(あとはこの繰り返し)
このときy=bcos(ωt+π/4)の位相は
π/4だけxより位相が進んでいますので
yの位相(ωt+π/4)は
π/4→π/2→3π/4→π→5π/4→3π/2→7π/4→2π→2π+π/4
となりyの振幅は
b/√2→0→-b/√2→-b→-b/√2→0→b/√2→b→b/√2
と変化し「yの最大振幅が行過ぎた、振幅が減少した所からスタート」して
yの振幅が変化します。
これが点が右回り（時計の針が回る方向）になる原因になります。

一方、
y=bcos(ωt-π/4)
の場合はωtが0から増加するとき
yの位相がωt=π/4となるときまではyの振幅が増加して最大値になります。つまり、xの位相に対してyの位相が(π/4)だけ遅れていますので
yの最大値はxの最大値（t=0のとき）より遅れてやってきます。
つまり「yの最大振幅がxの最大振幅より遅れてやってきますので、yの振幅が増加する所からスタート」してyの振幅が変化します。
このため、点の運動は左周り（時計の針が回る方向と反対方向）になる原因になります。
お分かりでしょうか？
xに対してｙの位相の遅れや進みがxの振幅ピークに対してyの振幅ピークがそれぞれ、後からやってくる、すでに通り過ぎている差になって現れるため、点(x,y)の回転方向がそれぞれ左回転、右回転の違いになって現れるのです。

お礼

あわてず値をプロットしていけばよかったのですね・・・。
何度の回転行列をかけたら、

x'=acosωt
y'=bsinωt
の形にもっていけるのだろう、と悩んでいたのですが・・・
ありがとうございました。