楕円振動の問題です

質問

定点からの距離に比例する引力を受け一平面内を動く質点の運動を、直交座標を用いて調べよ。その軌道は定点を中心とする楕円になることを示せ。
とゆう問題ですが、そのまんま運動方程式からx=Acos(wt+a) y=Bcos(wt+b)なんですが、これがなんで楕円になるのか分かりません。詳しい方教えてください。

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

コサインインバースをcos^-1と書くことにします。
まず計算を進めるための公式を準備してから計算を進めます。

＜公式＞
cos^2α＋sin^2α＝1 (1)
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ (2)
coscos^-1α＝α (3)

＜計算＞
x＝Acos(wt+a) → wt+a＝cos^-1(x/A) (4)
y＝Bcos(wt+b) → wt+b＝cos^-1(y/B） (5)
(4)－(5)して両辺のcosをとると
cos(a-b)＝cos{cos^-1(x/A)－cos^-1(y/B)}
＝coscos^-1(x/A)coscos^-1(y/B)
+sincos^-1(x/A)sincos^-1(y/B)
＝(x/A)(y/B)+sincos^-1(x/A)sincos^-1(y/B) (6)
ここで公式(2)と(3)を使いました。
公式(1)より
sincos^-1(x/A)＝sqrt{1－(coscos^-1(x/A))^2}
＝sqrt{1－(x/A)^2}
sincos^-1(y/B)＝sqrt{1－(coscos^-1(y/B))^2}
＝sqrt{1－(y/B)^2}
となります。この結果を(3)に代入し、整理しますと
sqrt{1－(x/A)^2}sqrt{1－(y/B)^2}
＝cos(a-b)－(x/A)(y/B) (4)
が得られます。そこで(4)式の両辺を２乗してまた整理しますと
(x/A)^2+(y/B)^2-2(x/A)(y/B)cos(a-b)＝sin^2(a-b) (5)
となります。これは一般に楕円の方程式となります。特に
a－b＝π/2＋nπ (n＝0,1,2・・・）
の場合にはよく見なれた楕円の方程式
(x/A)^2+(y/B)^2＝1
となります。また
a－b＝ｎπ (n＝1,2,3・・・）
の場合には
x/y＝±A/B （＋:ｎ＝奇数、－:ｎ＝偶数）
となり、直線の方程式となります。
以上、記号の記述がややこしかったですが頑張ってトレースしてみてください。

お礼

早速答えていただいてありがとうございます。
なるほどですね。すごい計算テクでした。
またよろしくお願いします。