ラプラス方程式の解法（情報処理として）と共役勾配法

質問

情報処理の数学はカテゴリ違いかもしれませんが、適当なところを見出せませんでしたので。
（以下、長文で申し訳ありません。）
ラプラス方程式やポアソン方程式の境界値問題を解く方法にＳＯＲ法が
あります。これは連立一次方程式の反復解法の１つだとも言えると思い
ます。連立一次方程式の解法は通常AX=BとなってマトリックスAと既知
ベクトルBに対して未知ベクトルＸを解くわけですが、ラプラス方程式
をＳＯＲ法で解く場合、AX=Bという形にはしません（そういう風に表現
はできますが）。例えば2次元を考えると100×100の2次元の領域を解く
場合、未知数は10000個です。これをAX=Bという風に考えたら、10000元
連立一次方程式を解くことになり、A(10000,10000)のようにメモリ確保
も大変ですが、実際にはそのように解きませんね。マトリックスＡとい
うメモリの取り方をしないのです。
100×100の格子領域でSOR法で解くとプログラムステップとしては数十
行ぐらいとなり、大したことはありませんね。

しかし、情報処理の連立一次方程式の解法の本を見ると、それはあくま
でも連立１次方程式があった場合ということを前提としているのでその
ようなメモリの確保から解説がスタートするようです。

そこで質問ですが、ラプラスやポアソン方程式を（前処理付）共役勾配
法などで解く場合、メモリ確保の前提条件としては連立一次方程式の形
ではないはずです。本を見るとマトリックス解法としての共役勾配法が
出ていますが、ラプラス方程式、ポアソン方程式の特化して解説してい
る本などないでしょうか。また、簡単に説明できるのであれば教えて頂
きたいのですが。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

考え方だと思うのですが、通常の流れは以下のようになると思います。

　　ラプラス方程式を数値計算に持ち込むには
　　　→何らかの手段で離散化（有限要素法や差分法など）
　　　→連立方程式

　上記において、離散化と連立方程式はペアで出てきます。連続的な偏微分方程式を数値計算に持ち込むには、何らかの手段で離散化する必要があり、必然的に連立方程式が現れる、という意味です。
　しかし実際のコーディング作業では、必ずしもMatrix形式を用いなくてもよいのも事実です。たいていの場合、得られる係数マトリックスは疎行列なので、非零要素だけを1次元配列に保存する事は可能です。既知ベクトルも1次元配列に保存します。
　共役勾配法では、それらベクトルの内積計算だけで事が済みますが、このとき問題になるのが、係数配列と既知配列の添字のマッピングです。
　マッピングを行う際には、やはり連立方程式を念頭において考えるのが順当と思えます。それで解説書は、連立方程式を基本にしているのではないでしょうか？。
　もう一回言いますが、連立方程式を念頭に置くけれど、実際のコーディングは違います。

お礼

ご丁寧な回答、有難うございます。

連立方程式を念頭において作業はするもののコーディングは別とのこと、概ね腑に落ちるものです。疎行列の場合、メモリの使い方などが連立一次方程式(AX=B)とはかなり異なるのでむしろ連立（一次）方程式と言わない方が理解しやすいのではないかと思いますが。
一方で有限要素法の場合、これは疎行列ですが本当にマトリックスを構成するのでしょうか。境界要素法の場合は経験がありますが、密行列なので本当に連立１次方程式のＡの行列を構成します。
解が存在するということの必要条件として連立方程式を構成することができるという事実はどの解法にも共通していることではあると理解しますが。