f(x)=x/(x^2+a^2)のグラフの書き方

質問

x=0付近では微小項x^2が無視できるのでx=0での接線はy=x/a^2です。

x→＋∞だと反比例のグラフ的に＋０にいきます

問題は極大ですが、定性的？に（微分せずに）そのときのXを求める方法はないでしょうか?

よろしくお願いします。高３です。センターやべぇーーー

回答No.1

tarame · ベストアンサー

それは、相加平均・相乗平均の関係でしょう！
a＞0，x＞0 とすると
1/f(x)＝x＋a^2/x≧2√a^2＝2a
したがって、x＝a^2/x のとき
すなわち　x＝a のとき　f(x)は最大値（極大値）1/2a をとる。

お礼

ですよねー！！
しまった（汗）まじ
解答ありがとうございました。頑張ります。

回答No.4

noname#101087

ミスの部分を訂正。
-----------
その点xc で、
　　y=x の勾配は 1 、y=(a^2/x) の勾配は -(a/xc)^2
なのですが、微分してわかることです。

回答No.3

noname#101087

>.... 問題は極大ですが、定性的？に（微分せずに）そのときのXを求める方法は ....

「微分せずに」が難関です。

逆数をとって、
　　x+(a^2/x)
の極小点をあてれば良いわけですね。

二本のグラフ y=x とy=(a^2/x) の交点xc はすぐわかります。
その点xc で、
　　y=x の勾配は 1 、y=(a^2/x) の勾配は -(a^2/xc)
なのですが、微分してわかることです。

y=(a^2/x) の凸性を前提にするとしても、厳密にいえば、微分不用にならないようですが....。

回答No.2

10ken16

奇関数であることは明らかですから、
ｘ＞0のとき分母分子をｘで割ると、分子はx+a^2/x。
あとは、相加平均≧相乗平均ですね。

一般に、１次式／２次式の関数は、
分母分子を変数で割るのがセオリーです。
（名古屋大学では毎年と言っていいほど
　このパターンが出てましたし、
　旧帝大～そこに準ずるレベルの大学で
　好んで出題されるパターンです）

もう一息です。健康に気をつけて、
力を出し切れるように。

お礼

ありがとうございました！！力を出し切れるように頑張ります!!