正の実数の列{a(n)}においてΣa(n)∈R⇒Σa(n)/n∈R?

質問

正の実数からなら数列{a(n)}に於いて、
「Σa(n)が収束する⇒Σa(n)/nは収束する」
という命題は正しいかどうか考えてます。

一見,正しいようですがどうやって証明が言えるのでしょうか?

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

各項について、a(n)/n≦a(n)だから、Σa(n)の部分和をS(n)、
Σa(n)/nの部分和をT(n)とすれば、
T(n)≦S(n)≦Σa(n)＜∞
よって、T(n)は上に有界で、T(n)は単調増加数列だから、T(n)は収束す
る。
級数の言葉でいえば、Σa(n)/nは収束する。

お礼

有難うございます。お陰様で解けました。

回答No.2

phusike

a(n)/n > 0である（正項級数である）ことから、
Σa(n)/nが発散するとすればΣa(n)/n = ∞に限られる。

ここで対偶を示す。
つまり、「Σa(n)/n = ∞⇒Σa(n) = ∞」
これは各項においてa(n)/n < a(n)であるから
当然Σa(n)/n < Σa(n) = ∞。

∴「Σa(n)が収束する⇒Σa(n)/nは収束する」

一般に非負の数からなる数列{a(n)}, {b(n)}について、
充分大きいnでa(n) ≦ c・b(n)が成立するcが存在する時、
「級数Σb(n)が収束する⇒級数Σa(n)が収束する」が成立する。
これはWeierstrassの優級数判定法と呼ばれ、
Σb(n)を優級数、Σa(n)を劣級数とよぶ。

お礼

どうも有難うございます。お陰様で解けました。

回答No.1

koko_u_

上に有界な単調増加の数列は収束します。

お礼

有難うございます。お陰様で解けました。