【中学数学】直方体の中の四面体

質問

直方体ABCD-EFGHにおいてAD上に点Pをとる。
点B、G、H、Pを頂点とする立体の体積が４０立方センチの時線分APを求めよ
AB=9cm AD=10cm AE=8cm

という問題が分かりません。

この立体は四面体で、４０という体積が与えられているのでどこかの面（Pに関連のある面）の面積が分かるのだろうと思って考えているのですが、どこを底面とし、どこを高さとしていいのかがわかりません。

それとも三平方の定理をつかうのでしょうか。

自分で解くべきだとは重々承知していますが、いくら考えてもわからないのです。

どなたか親切な方、お願いします。

画像添付するつもりでしたが、何度やっても添付後に見る事が出来ず画像無しですみませんが、問題文から点の位置関係は分かると思います。

回答No.2

oguro- · ベストアンサー

四面体PBGHの体積を40にする点Pがどこにあるかというと、辺BC上のCから6.25cmの点、辺CG上のCから5cmの点、辺AD上のDから6.75cmの点、辺DH上のDから5cmの点の４点を結ぶ長方形上にあります。
ですので、解答はPが辺AD上にあれば3.75cmということです。

さて、考え方です。
スマートな解法がぱっと思いつかなかったので、分かりにくかったらすみません。
今回は、三角形BHGを底面と置いてみました。三角形BHGは長方形ABGHと同一平面上にあります。このとき、面AEHDからこの直方体をみてみることにしましょう。
底面と置いた三角形BGHは面AEHDの方からみると線分AHに重なって見えます。従って、線分AHから垂直に辺AD上の点Pまで伸ばした線分の長さがこの四面体の高さとなります。では、点Pから垂直に交わるように線分AH上に降ろした点をQと置きましょう。

では、実際の計算に入りましょう。

三角形BGHの面積は角BGHが90度ですので、BG×GH×1/2
BGは三平方の定理から√（10^2+8^2）＝√164＝2√41
三角形BGHの面積は2√41×8×1/2＝8√41
四面体（三角錐）の体積は底面×高さ×1/3なので、
四面体PBGHの体積を40とすると
40＝8√41×（高さPQ）×1/3
（高さPQ）＝40×3÷8√41＝15/√41
次に三角形AHDに注目します。点PはAD上にあり、点QはAH上にあります。三角形APQと三角形AHDは相似の関係にあります。（相似は習った？）理由は角Aが共通、角AQP＝角ADH＝90度で3つの角がそれぞれ等しいからです。相似であれば、辺の長さの比は同じになりますから、
AP：PQ＝AH：DH
が成り立ちます。
AP：15/√41＝2√41：8・・・（AH＝BGです）
AP＝15/√41×2√41÷8
　＝15/4
　＝3.75

お礼

ありがとうございます。
よくわかりました。
親切で丁寧でわかりやすかったです。
本当にありがとうございます。

回答No.4

ffelix

まず、四面体D-BHGを考えます。この体積は120立方センチです。
次いで、四面体P-BHGを考えると、体積は題意より40立方センチです。
ところでこの2つの立体は底面がBHGで共通です。
よって体積比が3:1(←120:40の約分)ならば、高さの比も同様に3:1です。
ここでAD:APが2つの立体の高さの比を表す線分比なので、
10:AP＝3:1、よってAP＝10×1/3＝10/3となります。

位置が確定していない点Pを含む面よりも、まずは位置も面積も決まっている△BHGから考え始めるのが基本方針です。
また、比の話をまだ習っていなくてよく分からなければNo.2さんの解法が良いと思います。

お礼

ありがとうございます。
なるほど、こういう考えもあるんですね。
すごくたすかりました。

回答No.3

oguro-

#2です。
すみません。
見間違いでAB＝9でした。AB=8として計算してしまった・・・。

ということでちょっと修正
三角形BGH＝9√41
・・・
高さPQ＝40/3√41
・・・
AP＝40/3√41×2√41÷8
　＝80/24
　＝10/3
　＝3.3333333333....

でした。

回答No.1

jo-gi

「この立体は四面体で」と書いてありますが、四面体ならばＰ＝Ｄの時にしかなりませんよ。
本当に四面体なのですか？

お礼

すみません、もしかしたらそこから間違っているのかもしれません。
四面体だということは自分で考えたので違うかもしれません。