立方体 確率

質問

一辺の長さが1の立方体がある
この8個の頂点から相違なる3点を選び、それらを頂点とする三角形を作る
正三角形となる確率を求めよ

√2 √2 √2となるパターンのみが正三角形になるパターンで、√2は正方形の対角線だから、
ひとつの正方形に対角線が2本あるから全てで12本、この中から3本選べば正三角形になるから12Ｃ3＝220通りとなったのですが、全てで8Ｃ3＝56通りだからわりにあいません なぜでしょうか？

回答No.2

myuki1232 · ベストアンサー

長さが √2 の対角線で正三角形を作るというところまではあってます。
問題は、対角線を3つ選んでも頂点を3つ選んだことにならないことです。

解答例としては、
8つの頂点を、隣り合う点同士が異なる色になるように白と黒の二色に塗りわけます。
このとき、相違なる3点を選んで正三角形を作る必要十分条件は、
3つとも白 (= 4C3) か、3つとも黒 (= 4C3) のときなので、
正三角形を作る組み合わせは 2 * 4C3 = 8
その確率は 8 / 56 = 1 / 7 です。

お礼

なるほど ありがとうございました

回答No.1

naniwacchi

たとえば、3本選んだうちの 2本が同じ正方形内の対角線であったら
三角形もできませんよね・・・

補足

なるほど つまり一面の対角線が2本選ばれるのは6通りだから12Ｃ3/6＝220/6＝110/3で、全体の56で割って110/168になりますが答えの1/7とは合わないです
何故でしょうか？