イメージできません。

質問

1) Tymoczko's answer, which led last summer to the first paper on music theory ever published in the journal Science, is that the cosmos of chords consists of weird, multidimensional spaces, known as orbifolds, that turn back on themselves with a twist, like the Mobius strips math teachers love to trot out to prove to students that a two-dimensional figure can have only one side.
2) Indeed, the simplest chords, which consist of just two notes, live on an actual Mobius strip.

この１）と２）を組み合わせた図形は頭の中でイメージできるのですが

3) Three-note chords reside in spaces that look like prisms--except that opposing faces connect to each other.

The Geometry of Music
By MICHAEL D. LEMONICK

１） と３）を組み合わせた図形というのはちょっと自信がありません。それとも組み合わせはなしでしょうか。（記事で紹介のサイトにはいけませんでした。）

prisms--except that opposing faces connect to each otherは5角柱ではだめでしょうか。
立体でうねうねつながってよじれる感じでしょうか。

回答No.5

joshsan · ベストアンサー

四たび、joshsanです。

>その空間はプリズムのように見える。上下の対面がお互いに関連しあっているという点を除いてはプリズムのように見える。

この解釈が間違っていますよ。原文をよく読んでください。

Three-note chords reside in spaces that look like prisms
3音の和音は、プリズムのような空間に存在する。

look like prisms は spaces にかかり、どんな空間かを説明しているだけで、話の筋から言えばあってもなくてもよい。

--except that opposing faces connect to each other.
互いにつながる相対する面を除いて、（存在する）

互いにつながる相対する面、とは中央の立方体の向かい合う面のこと。"つながる"という意味は、相対する面の頂点が、両方とも同じ■●○●の4つのコードで構成されているので、つながってしまうという意味です。

お礼

joshsan様
遅くなり申し訳ありません。

The spaces look like prisms--except that opposing faces connect to each other.
という解釈はいまひとつのようですね。
joshsan様のほうだと思います。
しかしexcept以下がいまひとつです。

Three-note chords reside in spaces that look like prisms--except that opposing faces connect to each other.
の
except that opposing faces connect to each other.
ですが、
except that～で、～である点を除いて
ですから
このケースでも
except that (S)opposing faces (V)connect to (O)each other
となり
「対面がお互いにつながっている（関連している）という点を除き」
となるように思うのです。
これ以上補足をしていただくのも申し訳ないので新たに再質問してみますので、よろしかったらおねがいします。

回答No.4

joshsan

2番です。
ごめんなさい。ちと訂正。

×----相対する面がつながっている空間を除いて。中央の立方体の中だけは、3音の和音は存在しない、と言うことです。

○----つながっている相対する面を除いて。中央の立方体の"表面上"には3音の和音は存在しない、と言うことです。

回答No.3

joshsan

2番です。

>この図形を見ると三角柱の中に立方体がいくつかあって、その一つの面の頂点に小さな白球や黒球や黒立方体があり、その面の対面が対応しているように見えます。従ってこの立方体達のことをprismsと呼んでいるのではないかと思います。

>この私の解釈でよろしいんですよね。

いえいえ、ちがいます。質問者さんはプリズムを見たことがありませんか。一般的に理科の実験用などで売られているプリズムは三角柱の形をしています。

つまり、3音で構成される和音は、X-Y-Z座標で示される3次元空間において、図のように三角柱の形（プリズムの形）で表された空間に存在する。----相対する面がつながっている空間を除いて。

中央の立方体の中だけは、3音の和音は存在しない、と言うことです。

お礼

これは完全な見当違いをしていました。

＞3音で構成される和音は、X-Y-Z座標で示される3次元空間において、図のように三角柱の形（プリズムの形）で表された空間に存在する。

こちらで正しいようです。

しかしその後が気になります。
except that opposing faces connect to each otherですが
except that～は「～である点を除いて」ですから
The spaces look like prisms--except that opposing faces connect to each other.
その空間はプリズムのように見える。上下の対面がお互いに関連しあっているという点を除いてはプリズムのように見える。

プリズムは上の面と下の面だけが正確に対面しています。
この二つの面が関連しあっている（？）点で、単なるプリズムとは違うということを言おうとしているように思うのですが。。。
それともjoshsan様のおっしゃっていることと同じなんですかね？？

回答No.2

joshsan

この論文すごい、面白い！

音楽のコード進行がなぜ耳に心地よいのか、幾何学的平面上での点の移動ととらえることで、この理由を説明できるようになった、というレポート。

2音の和音は二次元空間、3音の和音は3次元空間というようにn音の和音はn次元のユークリッド空間上の点で表すことができて、別の点に移るとき（コード進行のとき）の移動距離が短いほど、人間の耳に心地よく響くんだって。
ショパンのピアノ・プレリュード ホ短調とか、複雑な和音の連続がなぜ心地よく聴こえるのか説明に苦しんでいたが、この理論だと空間マップ上の、きわめて短い線に沿ってコードが動くことがわかるんだそうだ。

と、思わず解説してしまいましたが。

訳してみると
１）昨年夏にサイエンス誌に掲載された初の音楽論文に詳しく書いてあるが、Tymoczkoの答えはこうだ。和音の宇宙は、捩れていて出発点に戻ってきてしまうような多様体として知られている、風変わりな、多次元空間で構成されているのだ。数学教師が好んで証明したがる「メビウスの輪」みたいに。

２）実際、最も単純なコード、二つの音符から成りたってるやつは、本当にメビウスの輪の上にあるんだ！
で、これを図にしたのがこれ
http://stat.ameba.jp/user_images/d6/0f/10008103379.gif
左辺と右辺が上下反転してつながって、メビウスの輪になっている。

１）は理論の大まかな説明ですから、１）と２）を組み合わせる？必要はありませんね。

３）はわざわざ訳さないけど、3音から成るコードは、3次元空間で表せるということで、1番さんがリンクしてくれた図形そのものですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私も面白い記事だとは思いましたが、一見専門的な感じがするためか、難しいためか、なかなかご回答がいただけませんでした。
しかし音楽の専門的な知識がなくても楽しめるものではないかと思います。

＞１）は理論の大まかな説明ですから、１）と２）を組み合わせる？必要はありませんね。

「組み合わせる」というのは表現が悪かったです。

＞except that opposing faces connect to each otherというのはそれほど専門的な表現ではないのですがなかなかイメージできなかったのですが「対面がお互いに関連している以外は」ということのようです。
この図形を見ると三角柱の中に立方体がいくつかあって、その一つの面の頂点に小さな白球や黒球や黒立方体があり、その面の対面が対応しているように見えます。従ってこの立方体達のことをprismsと呼んでいるのではないかと思います。

この私の解釈でよろしいんですよね。
ご回答ありがとうございました。
締め切ってしまおうと思っていましたが良かったです。
この記事についてはもっと後ろの文の質問をする予定なのでよろしかったらおねがいします。
この質問についてはもう少し締め切らずにおいておこうと思います。

回答No.1

tjhiroko

回答がつかないようですのでしゃしゃり出てきました。
メビウスの帯と聞いただけで頭が痛くなる私には、これを日本語で読んでもイメージするのは無理そうですので、とりあえず参考になりそうなものを探してきました。
http://rogerbourland.com/blog/2006/07/08/dmitri-tymoczko/
少しでも役に立てばいいのですが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
サイトのほうが自分では見つからなかったので感謝しております。
ご紹介のサイトを見たところ、三角柱のような図形がありましたのでやはり立体的なメビウスの輪ではないような気がします。
except that opposing faces connect to each otherというのはそれほど専門的な表現ではないのですがなかなかイメージできなかったのですが「対面がお互いに関連している以外は」ということのようです。
この図形を見ると三角柱の中に立方体がいくつかあって、その一つの面の頂点に小さな白球や黒球や黒立方体があり、その面の対面が対応しているように見えます。従ってこの立方体達のことをprismsと呼んでいるのではないかと思います。
かなり解明してきました。ありがとうございます。