凸体のミンコフスキー和がいまいち分かりません。

質問

こんにちは。

golem.ph.utexas.edu/category/2011/08/mixed_volume.html
を読んでいて分からない事がありましたので質問させて下さい。

A,Bが凸体の時,凸体A+B:={a+b∈R^n;a∈A,b∈B}をAとBのミンコフスキー和
en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition
といい,
Vol(A)と書いたらAの(ルベーグ測度での)n次元体積の事で,
Vol(xA+yB)=Vol({xa+yb∈R^n;a∈A,b∈B})=c_1x^2+c_2xy+c_3y^2と求まる時,
実係数c_1,c_2,c_3を夫々2!/(2!0!)V(A,A),2!/(1!1!)V(A,B),2!/(0!2!)V(B,B)と書き,これらV(A,A),V(A,B),V(B,B)をAとAの混合積,AとBの混合積,BとBの混合積
と呼ぶのだと推測します。

同様にV_1,V_2,…,V_k (k∈N)についての定義は,
Vol(Σ_{j=1..k}x_jV_j)=Σ_{i_1+i_2+…+i_l=n,0≦l≦m:=min{n,k}}c(i_1,i_2,…,i_l)x_1^{i_1}x_2^{i_2}…x_m^{i_l}の時,
V(A_1,…,A_1,A_2,…,A_2,…,…,A_l,…,A_l):=1/(n!/(i_1!i_2!…i_l!))c(i_1,i_2,…,i_l) (ここで,A_1,…,A_1,A_2,…,A_2,…,…,A_l,…,A_l)は夫々i_1個,i_2個,…,i_l個並ぶ)
と書けるのだと思います。合ってますか?

それで「Why is that so? The picture below shows an …」のくだりからがいまいちよく分かりません。
青四角形のAと4つの緑卵形のどの一つとのミンコフスキー和はt=1の場合で考えてみても灰色の軽く領域を飛び出してしまうと思うのですが、、
(en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition　でのミンコフスキー和の例図は納得できます)
ここでの図は間違ってるのでしょうか。

一体,A+tBという凸体はどうなっているのでしょうか?

回答No.1

jcpmutura

t=1
青四角形をA
と
4つの緑卵形の一つをB
との
ミンコフスキー和を
A+tB
とする
a0∈Aを1つの頂点とする
ae∈Aを頂点を除く境界辺上の点とする
b0∈Bを固定点(a0の位置に合わせる点)とする

図の青四角形は(Aそのものではなく)
A+{tb0}
(Aをtb0だけ平行移動した図形でA+tBの部分集合)
を表しています

図の緑卵形の一つは(Bそのものではなく)
{a0}+tB
(緑卵形の一つtBをa0だけ平行移動した図形でA+tBの部分集合で
青を除いた部分)
を表しています

図の灰色部分は
{ae}+tB
(緑卵形の一つtBをaeだけ平行移動した図形でA+tBの部分集合で
青と緑を除いた部分)
を表しています

図は
青四角形の1つの頂点a0と
緑卵形の固定点tb0を
同じ位置a0+tb0へ移動したものです

青緑灰色合わせたものが
A+tB
を表しています

お礼

すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。

ご紹介いただいた図で漸く納得できました。

AとBは離れた場所にあり,左下の五線が交わっている点を原点として見立てれば
灰色の図形はA+Bの事となるのですね。

これなら
en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition
のミンコフスキー和の説明とも合致しますね。