ルベーグ測度について

質問

質問があります。今ルベーグ測度について勉強しているのですが，ルベーグ測度０というのはどういう意味なのでしょうか？？

回答No.1

F_P_E · ベストアンサー

はじめまして。

測度というものは、集合の”大きさ”と捉えてよいと思います。ですから、測度０というのは、”大きさ”がないという意味と考えてはどうでしょう。

数学を少しはかじっていますが、専門ではないのでちゃんとした説明できないことをお許しください。

回答No.4

connykelly

＃３のconnykellyです。
>点の集合はルベーグ測度０になるのでしょうか？？
何の点の集合のことでしょうか。有理数の点の集合の場合はルベーグ測度は０になります。ところで私もあまり詳しくないのでそろそろボロがでそうですが(笑い）、＃３の参考URLからの引用「各有理点の長さはどんな小さな正の数εよりも短いのでそれらを全部（「アレフ0」個＝可算個だけ）加えてもε＋ε/2＋ε/4＋ε/8＋・・・＝２εよりも短いので合計で 0 ということになります。つまり、無限小を「可算個」集めても、無限小のままですが「非可算個」集めると有限な大きさになることもある、というわけですね。面積や体積でも同じような話ができます」というところを適当なテキストを参照されながらよく吟味されればと思います。。。

参考URL：

http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/07/post_fb5a.html​

回答No.3

connykelly

ルベーグ測度を理解するには無限集合論を勉強する必要があることはご存知のことと思います。そこでルベーグ測度０という意味合いですが、参考URLにこの辺りの消息が書かれていますので一度ご覧になられてはいかがでしょうか。
以下、そこからの引用
「一般的な話としては「ルベーグ測度」＝長さ、面積・・・を考える際には「濃度」が「可算」か「非可算」かで大きな差があります。たとえば閉区間[ 0 , 1]の長さは１ですが、有理数＝有理点の個数は「可算」、つまり「アレフ0」個なので長さは 0 です、したがって、連続無限個「アレフ1」個の無理数＝無理点のみの長さは差し引き１ですね。」という調子です。
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/07/post_fb5a.html

参考URL：

http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/07/post_fb5a.html

お礼

おれいが遅くなってすいません。ありがとうございました。もう一つ質問があるのですが，点の集合はルベーグ測度０になるのでしょうか？？

回答No.2

noname#178429

ルベーグ測度が0というのは,文字通りルベーグ測度が0ということになるわけでこれ以上説明しようがないのですが,問題は,ルベーグ測度が0となる集合(零集合とよびます)にはどのような性質があるかということを問題にしているものと思います.
点は,ルベーグ測度0で,また可算無限個の点集合もルベーグ測度の可算加法性により,ルベーグ測度0となります.また,カントール集合のような不可算無限点集合もこの可算加法性により求めることができ,0となります.
ルベーグ積分の巧妙な点は,このようなルベーグ測度が0となる点を除外して考えることができる点にあります.