２種類の商品を、予算に一番近い額で買う組み合わせは？

質問

価格の異なる２種類の商品を、或る予算限度いっぱいまで買う買い方を求める計算法（高校数学程度？算数？）を教えて下さい。

たとえば、「商品Ａが７００円、商品Ｂが１２００円で、予算２万円のとき、Ａ・Ｂを各何個買えば最も２万円に近いでしょうか。」

さらに、「それぞれを最低５個は買う」という条件がついていたら、どうなりますか？

以上、非常に日常的な問いのわりに、案外、直感的に考えたりしていることが多いので、一度キチンと数式を使うとどうなるか興味が湧き、投稿しました。
（もし、エクセルを使用して解く方法があれば、それも知りたいと思います）

回答No.2

info22 · ベストアンサー

線形計画法（LP法）,数理計画法の計算ですね。
これらの名称でGoogleで検索してみてください。

Aをx1個,Bをx2個とすると制約条件
5≦x1≦28,5≦x2≦16,700x1+1200x2≦20000,x1=整数、x2=整数
目的関数: 700x1+1200x2=k
としてkを最大にする(x1,x2)を求めれば良いですね。

解は(x1,x2)=(8,12)となります。
このときk=20000(円)ちょうどの最適解になります。

5個以上という個数の条件をはずせば
(x1,x2)=(20,5),このときk=20000(円)ちょうど
も最適解になります。

グラフを描いて最適整数解を求めました。
x2を0～16または5～16迄の整数で変化させ、順に目的関数を調べて行っても最適解が見つかると思います。なお、x1で変化されると調べる回数がより多くなります。

（EXCELでもできると思いますがやってみないとわかりません。）
目的関数を(x1,x2)の整数組で目的関数を計算してkで大きい順にソートしてやれば最適解が多分見つかるでしょう。

お礼

くわしい回答を寄せていただき、ありがとうございます。
この問題は、「線形計画法」というジャンルなのですね。
たいへん勉強になります。

また、仮にエクセルを使うとすれば、「ソート機能」が有効だろうという御意見も貴重に思います。試してみます。

回答No.1

koko_u_

商品 A を x 個、商品 B を y 個購入して 700x + 1200y
が 20000 に最も近くなるようにしたいのですね。

この場合、7x + 12y = 200 の整数方程式を考えると、

7(x + y - 28) + 5y = 4

2(x + y - 28) + 5(y + (x + y - 28)) = 4

2(x + y - 30) + 5(x + 2y - 28) = 0

なので k を整数として

x + y - 30 = -5k
x + 2y - 28 = 2k

x, y について解くと

x = 32 - 12k
y = 7k - 2

k = 1, 2 の時に x >= 0 , y >= 0 となるから

x = 20, y = 5
x = 8, y = 12

で丁度 2万円になります。

お礼

くわしい回答を寄せていただき、ありがとうございます。
こちらに予備知識が無く、提示してくださった方程式の変形のプロセスが、わからないので、あとでじっくり考えたいと思います。
（残念ながら、高校レベルの数学では、なさそうですね）