不等式の証明

質問

｜(sinx-siny)/(x-y)｜≦kがすべてのx,yラジアンについて成り立つときのkの最小値を求めよ。

この問題の解答ではx→0,y=0を考えていますがこの理由側ありません。絶対値の最小値は0であることはわかります、またこの問題の絶対値の中身は-1≦sinθ≦1より分母のほうが大きくなりそうな気もします。

お願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

平均値の定理から、
(sinx-siny)/(x-y)=cosθ
となるxとyの間のθがある。
（sinの微分はcosだから）
|cosθ|≦1だから、|(sinx-siny)/(x-y)|≦1である。
ここで、sinのグラフで、接線の傾きが最大になるところは0のところ
であるのを考えて、y=0とすると、
(sinx-siny)/(x-y)=sinx/x
となり、x→0とすると、sinx/x→1となる。
以上から分ったことは、(sinx-siny)/(x-y)は1を超えないが、1にいく
らでも近づくということである。
つまり、k=1とすると、常に|(sinx-siny)/(x-y)|≦1は成り立つが、
kよりも少しでも小さいk'をとると、|(sinx-siny)/(x-y)|≦k'は
成り立たない。
しつこく言うと、y=0として、sinx/x→1（x→0）より、
k'＜sinx/x＜1となるxがあるからである。
よって、求める最小のkは1である。

回答No.2

kabaokaba

>この問題の解答ではx→0,y=0を考えていますがこの理由側ありません。
任意のx,yで成立するんだから「好き勝手な値」で
計算しやすいものを選んだだけ．

「任意で成り立つ」=>「好きな値をいれて簡単にする」
恒等式の「代入法」なんかでもよくやる
基本中の基本の受験テクニックでは？

回答の方針としては他にも
（1）和積の公式でもっと簡単にする
もしくは
（2）平均値の定理でもっと簡単にする
というのがあります．
この形の式をみたら「微分の定義」を疑うのも定石ではあります．

回答No.1

endlessriver

z=(x-y)/2とおくと掲題の式をfとおくと
和と差の公式からf=|sinz/z||cos(x-z)|
x,zは独立だからzに関係なく|cos(x-z)|は最大値1をとることができる。
f≦|sinz/z|となる。
|sinz|≦|z|で等号はz=0のときである。x<>yゆえにf<1.k=1