開集合について

質問

R×Rの開集合は(R^2,ρR^2)の開集合であることを示せ．

上記の問題の解き方について教えていただけませんでしょうか．
よろしくお願いします．

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

まず、Rの開集合の定義と直積集合の開集合の定義を確認して、集合がR×Rの開集合であるという性質を具体的に記述してみましょう。
また、(R^2,ρR^2)の開集合の定義も具体的に記述しましょう。
その上でR×Rの開集合であるという性質を使って(R^2,ρR^2)の開集合の定義を満たすことを確認します。
具体的な証明は自分でやってください。そうしないと理解が進まないと思いますので。

お礼

わかりました．
本当にありがとうございました．
確かにおっしゃるとおり定義について一つ一つ記述していくことで理解が進みました．
ありがとうございました．

回答No.3

koko_u_

射影 p : R^2 -> R ((x,y) -> x), q : R^2 -> R ((x,y) -> y) が
(R^2, ρ)の位相で連続であることを示して、
R×R の直積位相が p, q を連続とする最も弱い位相であることを考える。

お礼

射影という考えは思いつきませんでした．
射影について少し勉強したいと思います．
ありがとうございました．

回答No.1

rinkun

記号の意味が分からないよ。
Rは実数空間で良いかな。そうするとR×Rは実数同士の直積空間だね。
しかし(R^2,ρR^2)はどういう定義だろう? 記号だけじゃ分からないから具体的な定義を出してね。

逆に定義が分かれば難しい問題じゃないと思う。
定義をちゃんと書き下して、R×Rの開集合が(R^2,ρR^2)の開集合の条件を満たすことを確認すれば良いでしょう。

お礼

ご回答どうもありがとうございます．

記していただいた通り，Rは実数空間でR×Rは実数同士の直積空間です．

ρ_R^2は，二次元での距離を表しています．そして，(R^2,ρR^2)の定義ですが，二次元空間での距離の集合を表していると思います．

まだ習い立てなので，正直問題の意味もよくわからない状態です．もう少し，詳細に指針を教えていただけると助かります．よろしくお願いします．