解と係数の関係の公式を使った数Iの問題について

質問

放物線Ｙ＝－Ｘ²＋Ｘ＋ａ－３がＸ軸から切り取る線分の長さが３であるとき、定数ａの値を求めよ

これを解と係数の公式を使った方法で解くやり方を教えて下さい(。•́︿•̀。)

回答No.3

178-tall

「解と係数の公式」で、
　-X^2 + X + (a-3) = -(X-X1)(X-X2) = -X^2 + (X1+X2)X - X1X2
　　　　↓
　1 = X1+X2　　　…(1)
　a-3 = -X1X2　　…(2)
を得る。

題意から、
　X2-X1 = 3　　　…(3)
が成立つ。

(1), (3) から X2=2, X1=-1 。
(2) へ放り込んで、
　a = 3 - X1X2 = 3 + 2 = 5

…でチョン、かナ？

回答No.2

yyssaa

＞x^2-x-a+3=0の2解をα,βとすると
x^2-x-a+3=(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβの両辺を比較して
α+β=1,αβ=-a+3
Ｘ軸から切り取る線分の長さは√(α-β)^2だから
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=1^2-4(-a+3)=4a-11
√(α-β)^2=√(4a-11)=3
4a-11=9、4a=20、a=5・・・答

回答No.1

gohtraw

二次方程式　ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０　の解は
（－ｂ±√（ｂ＾２－４ａｃ））／２ａ　・・・（あ）
ですね。これは元の方程式を平方完成して、
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２－ｂ＾２／４ａ＋ｃ＝０　・・・（１）
（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２＝（ｂ＾２－４ａｃ）／４ａ＾２
ｘ＋ｂ／２ａ＝±√（ｂ＾２－４ａｃ）／２ａ
とすれば求めることができます。一方（１）より、
二次関数ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃのグラフの軸がｙ＝－ｂ／２ａ
であることがわかります。

したがって、（あ）の意味合いは、放物線の軸に対して
√（ｂ＾２－４ａｃ）／２ａを足したところと引いたところが
解であるということです。

よって、ｘ軸上での二つの解の間隔は
２√（ｂ＾２－４ａｃ）／２ａ＝√（ｂ＾２－４ａｃ）／ａ
となります。これが、放物線がｘ軸から切り取る線分の
長さに相当します。