内積とエネルギー

質問

力と距離の内積が仕事だということは高校から使ってきました。
でも、最近これがすごく不思議に思えてきたのです。
つまり、それだけのエネルギーとも言える訳ですよね。
でも、なぜ力と距離の内積なのでしょう。
高校の時点では、「これは定義です。」と言われていたような気がします。
しかし、それが質量エネルギーなど他のエネルギーと同じものだと言うのがすごく不思議に思います。式がぜんぜん違うではないですか！
エネルギーって何なんでしょう？
そんなことを大学の３回になって思いはじめています。
エネルギーはあいまいな概念だが何かと都合がいいからこの量を定義するのだと何かの本に書いてあったような気がします。
この道に向いていないのでしょうか？

回答No.6

petit-C

もともと、力学のできたころは、
力学的な現象を足し算や引き算で表そうというところから、
始まっていると思います。

ある量を定義して、状態Aから状態A'に変化したときに、
全部足し算したら、変わらなかったというのが、非常に都合のいい量で、
「保存量」とか言われます。
たまたま、そのひとつがエネルギーになります。
（保存量が十分揃うと、完全に力学現象が決定できます。
　また、後述のようにたまたまではないのですが。）

孤立系の保存量は、ご存知とは思いますが、エネルギーと運動量と角運動量が、
保存量の例になります。

エネルギーに関して言えば、運動エネルギーと位置エネルギーの和が、
地上では、不変ということから始まって、
バネなんかで定義できる「力」とものさしで定義できる「長さ」を組み合わせた、
という感じでしょう。
はじめのは、放物線運動から、あとのは、滑車とバネを組み合わせて、
確かめられます。
また、熱エネルギーは、摩擦熱から、つまり、温度と力×長さの関係から分かります。（関係式を見つけて、それが保存するのを実験で確かめれば良い）

解析力学をやると、ラグランジュ形式で、物理が時間が経っても変わらない、
ということから、エネルギー保存則が出てきます。
（時間並進対称性から、出てくる保存則がエネルギー）
解析力学は、未定乗数法とか、正準形式とか難しいけど、
ラグランジュ形式のはじめのほうだけでも、かなり、面白いですよ。
むかし習った保存量が、見た目以上に強力なのがわかります。

質量エネルギーについては、特殊相対論から、予言されて、
原子が崩壊するときに質量を失って、
かわりに、運動エネルギーを放出することから、分かります。
特殊相対論では、ゆっくり動いているものは、運動エネルギーが、
mc^2（質量エネルギー) + m/2 * v^2(非相対論的運動エネルギー）
と書けます。

補足

回答ありがとうございます。
やはり、そのようなことになるのですか。
ところで、そのような歴史的背景が詳しく書かれているような書物を知っていらっしゃれば教えて頂けないでしょうか？
お願いします。

回答No.5

tak2006

No.5の者です。
あまり自信がないのですが、このような考え方はどうでしょう。

まず、物体F[N]を加え、r[m]進めるにはE[J]のエネルギーが必要です。
また、物体の質量がm[kg]で、外力による加速度がa[m/s^2]だとすれば、

E[J]=m[kg] a[m/s^2] r[m]

即ち、
[J]≡[m^2][kg][s^(-2)]

となります。このように様々なエネルギーを変位・質量・時間の単位に分けてみてはどうでしょう。
エネルギーは変位の2乗・質量・時間の(-2)乗になるはずです。

回答No.4

tak2006

>なぜ力と距離の内積なのでしょう。

先ず、スカラー量で考えましょう。力を「物体が進むのと同じ」方向に加えている場合、そのエネルギーは

E=|F||r｜

となります(上式のF，ｒはベクトルです。スカラーで表すと、|F|，|r｜となります)。これがエネルギーの基本となります。

次に、力を「物体が進む方向とθずれた」方向に加えている場合は、物体が進むのと同方向に加わる力は、｜F｜cosθとなります。よってこの場合のエネルギーは

Ｅ＝｛|F|cosθ｝|r|＝|F||r|cosθ

となり、上式は力と変位の内積になります。

補足

回答ありがとうございます。
私の質問の仕方がいけなかったようです。
私の聞きたかったところは、エネルギーという曖昧な概念なのだけどそのパラメータがFとｒなのかということ。
また、他の場合では・・・例えば質量エネルギーならパラメータが質量ｍなのにこれらはどちらもエネルギーです。
何が本質的に同等なのかと疑問に思ってしまいます。
ベクトルの内積自身の意味について考えたのではないのです。
もし、それらについて何かあればお願いします。

回答No.3

First_Noel

＃１です．たびたびです．
解析的には，物体の運動も，重力場や電磁場でも，統一された概念で
説明される，と言うことをポテンシャルを例に書きました．

今改めて読ませて頂いて，ふと思いました．
「仕事」と「エネルギー」とを混同されていませんか？

理想的には確かに両者は可換なものですが，実際には，
エネルギー・・・仕事を為す源となるもの．
仕事・・・エネルギーを消費又は蓄積するもの．
なので，別物です．現実的には「効率」が入るので，完全に可換ではありません．

では「エネルギー」とは何か？
私は「物理現象を説明する為に定義された概念」に過ぎないと思います．

発電を例に考えてみると良いかも．火力の場合，
分子間結合→熱→運動→電気
となっていますね．エネルギーが次々と形態を変えていますが，
燃焼によって熱が発生し，水が蒸気となるところまでは，仕事量としては０です．

とまれ，既成概念に対して「ん？」と思うことは，理解を一層深めると
思いますので，悩むことは良いことだと思います．
私，そういう初心の心得みたいなのを忘れて，つたない説明を繰り返し，
反省するところです．

お礼

再び回答ありがとうございます。
仕事とエネルギーを混同はしていません。
エネルギーはあくまでも仕事をする可能性とでも言い表せるでしょうか？
でも、区別せずに使っていることがあるので、紛らわしい表現をしたりします。
すみません。

回答No.2

guiter

こういった話をすっきりさせたいのであれば、
解析力学を詳しく勉強してみてはどうでしょうか。

そこまでやらないにしても Newton の運動方程式
　mx" = F
の両辺に x の時間微分 x' をかけて時間で積分してみると
運動エネルギーや仕事がなぜあのような形で定義されるのかの
感じがつかめるかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。
解析力学は難しいと聞きますが・・・
当分の間、学ぶ予定はありません。でも、将来的には勉強しようと思っていますが。
さっそく、計算してみようと思います。

回答No.1

First_Noel

＞この道に向いていないのでしょうか？

いえ，むしろ向いているんじゃないでしょうか？
科学に生きるには，最初批判的（それは否定ではない），
証明又は理解出来れば，利用シチャイマショウ！なのですから．

ポテンシャルに注目してみましょう．
ある場があって，そのポテンシャルがＶ（ｒ）で表されるとします．
あるＡ点からＢ点へ移動する場合，その移動に必要な仕事は，
Ｖ（Ｂ）－Ｖ（Ａ）となります．そして必要な力はＶ（ｒ）’となります．
これを一般化して記述すると，
仕事＝∫Ｖ（ｒ）ｄｒ，　Ａ≦ｒ≦Ｂ
力＝ｄＶ（ｒ）／ｄｒ
となります．

例えば電場の場合．
ある電荷ｑを，電位差Ｖだけ動かすと，為された仕事はｑＶ．
その点での電場Ｅ＝ｄＶ／ｄｒ
電荷にかかる力Ｆ＝ｑＥ＝ｑｄＶ／ｄｒ

つまり，物理的に統一概念で説明されていることになります．
あと，そもそもエネルギーとは？，については，人間が物理現象を
理解するために生み出した概念である，と考えた方が良いと思います．

お礼

早速の回答ありがとうございます。
回答の内容ですが、ポテンシャルに注目して出発する点と到着する点が決まれば、ポテンシャルは経路によらない。
その性質が証明されているのだから、物理現象を理解するのに都合がいい（いろんな経路の場合をあれこれと考え無くていい）から使っちゃえと思いなさいということですね。
でも、やはり腑に落ちないもやもやとしたものが・・・
エネルギーって・・・・
不思議です。