数Iについていくつか質問があります。

質問

１つめの質問：
x<16/5　を満たす自然数xの個数は？と聞かれた場合、

・自然数xは３個である。（１，２，３）
・自然数xは４個である。（０，１，２，３）

０を含めるのでしょうか含めないのでしょうか？
広辞苑で調べたら、
自然数というのは１から数える場合と０から数える場合があるようで・・。^^;

２つ目の質問：
x^2-x-2≦0と、x^2+2ax+3a+4≦0をともに満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

という問題なのですが、

x^2-x-2≦0 は-1≦x≦2

x^2+2ax+3a+4≦0は-a-√(a^2-3a-4)≦x≦-a+√(a^2-3a-4)

というのは分かりました。

ともに満たす、ということは、

-a-√(a^2-3a-4)=-1

-a+√(a^2-3a-4)=2

このように解けばよいのでしょうか？

回答No.6

kumipapa · ベストアンサー

#4,#5です。
質問者さんのご質問をもう一度よーく読んでみたのですが、ご質問にちゃんと回答していなかったようです。

＞　ともに満たす、ということは、
＞　-a-√(a^2-3a-4)=-1
＞　-a+√(a^2-3a-4)=2
＞　このように解けばよいのでしょうか？
というご質問については、違うと思います。
問題は、
＞　x^2-x-2≦0と、x^2+2ax+3a+4≦0をともに満たすxが存在するようなaの値の範囲を求めよ
ですが、質問者さんの考えですと、x^2-x-2≦0とx^2+2ax+3a+4≦0の解が一致するようなａを求めようとしていることになりますね。
しかし、問題をよく読むと、２式の解を一致させろと言っているのではなく、「（２式を）ともに満たすｘが存在する」ようにａを定めよと言っています。
x^2-x-2≦0の解は(x+1)(x-2)≦0より-1≦x≦2ですから、この範囲のxで（１点でも良いから）f(x)=x^2+2ax+3a+4≦0となるようにａを定めれば良いのです。
ですから、グラフを書いてみると・・・
（１）　f(-1)≦0ならばf(x)の軸がどこにあってもf(x)≦0は-1≦x≦2の範囲で解を持つ。
（２）　f(-1)＞0であってもf(2)≦0であれば同様に-1≦x≦2の範囲で解を持つ。
（３）f(-1)＞0かつf(2)＞0でも、y=f(x)の軸が-1≦x≦2の範囲にあって、かつ、y=f(x)の頂点のy座標が0以下ならばf(x)≦0は-1≦x≦2で解を持つ。
という場合分けをすることができ、
f(-1)≦0　または　f(2)≦0　または　-1≦-a≦2かつf(-a)≦0　であれば良いのです。

回答No.7

noname#43759

１つ目の質問のみ答えます。

一般に自然数は１，２，３，・・・ですが、
フランスでは自然数に０を含めます。
日本では０を含めませんので、解答は「３個」にして下さい。

うちの大学の数学の先生は、
数学用語には世界標準というものがないと言っていました。

数学の世界ではみんながよく使うものを一般的にしてるみたいです。

回答No.5

kumipapa

#4です。ごめんなさい、下から３行目、訂正です。

(3) より、f(-a) = -a^2+3a+4≦0 ⇔ a^2-3a-4=(a+1)(a-4)≧0 を-2≦a≦1の条件下で解いて-2≦a≦-1

回答No.4

kumipapa

やはり自然数といえば、数学では１，２，３・・・と正の整数のことを言うと思います。数学能力検定試験（ＴＯＭＡＣ）なるものがあるようですが、そいつの用語解説でも「自然数とは・・・正の整数」となっていました。

２つ目のご質問ですが、＃３さんがおっしゃるとおり -a-√(a^2-3a-4)≦x≦-a+√(a^2-3a-4)と-1≦x≦2とをつき合わせるのは面倒ですから、「グラフを書いてみると・・・」という考え方でトライした方が楽だと思います。

f(x) = x^2+2ax+3a+4
とおくと、f(x)≦0が-1≦x≦2の範囲で解を持つのは、以下の３通りを考えれば良い(グラフを書いて考えてください）。
(1) f(-1)≦0
または
(2) f(2)≦0
または
(3) f(x)の軸x=-aが-1≦-a≦2（⇔ -2≦a≦1)の範囲にあり、かつf(a)≦0

(1) より、f(-1) = a+5 ≦ 0 を解いて a ≦ -5
(2) より、f(2) = 7a+8 ≦ 0 を解いて a ≦ -8/7
(3) より、f(-a) = -a^2+3a+4≦0 ⇔ a^2-3a-4=(a+1)(a-4)≧0 を-2≦a≦1の条件下で解いてa≦-1

(1),(2),(3)より、a≦-1

となります。

回答No.3

nettiw

>>> -1≦x≦2
>>> -a-√(a^2-3a-4)≦x≦-a+√(a^2-3a-4)

　　　√の中（判別式）を考慮して、
　　　　　a≦-1,4≦a・・・Ｅ（大前提）

>>>ともに満たす、ということは、

　　[小解]　-a-√(a^2-3a-4)
　　[大解]　-a+√(a^2-3a-4)

ー[小解]ーー[大解]ーー(－１）ーーーーーーー（２）ーーーーー

ーーーーー(－１）ーーーーーーー（２）ー[小解]ーー[大解]ーー

　となってはダメで、
　この範囲を求めてから、その余事象を考える。

　　　-a+√(a^2-3a-4)＜－１
　　　√(a^2-3a-4)＜a－１・・・１＜a・・・Ｆ
　　　　　　　　　　-5＜a・・・Ｇ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆ、Ｇより１＜a

　　　２＜-a-√(a^2-3a-4)
　　　√(a^2-3a-4)＜－２-a・・・a＜-2・・・Ｈ
　　　　　　　　　-8/7＜a・・・Ｊ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｈ、Ｊより解なし。

この二つの余事象は、a≦1
　これに、a≦-1,4≦a・・・Ｅ（大前提）を加味して、

　　　解は、a≦-1　。

とはなるけれど、あまり良い方法とは思われないので、
解の存在範囲、で解いた方が良いと思います。
つまり、

　　　　-1≦x≦2
　　　　(x^2)+2ax+(3a+4)≦0

　f(x)=(x^2)+2ax+(3a+4)　と置いて、

-----------(-1)――――(2)---------
　　＜３＞　　　＜１＞　　　＜２＞

判別式で、

　　　　(a＾2)-3a-4≧0
　　　　(a-4)(a+1)≧0
　　　　　　　　　　　　　a≦-1,4≦a・・・Ａ

軸で場合分けして、

　　＜１＞　-1≦-a≦4　　→　-4≦a≦1　の時は、
　　　　　　　　Ａを考慮して、－４≦a≦－１・・・Ｂ

　　＜２＞　4＜-a　→　a＜-4 の時は、
　　　　　　　f(2)=4+4a+3a+4=8+7a≦0
　　　　　　　　　a≦-8/7
　　　　　　　　　Ａも考慮して、a＜-4・・・Ｃ

　　＜３＞　-a＜-1　　→　1＜a の時は、
　　　　　　　f(-1)=1-2a+3a+4=5+a≦0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a≦-5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解なし。・・・Ｄ

　　　　　　　　　　Ｂ、Ｃ、Ｄより　a≦-1

回答No.2

fuuraibou0

御免！　－５≦ａ≦－８/７　でした。

回答No.1

fuuraibou0

数学では、１、２、・・・を自然数と云い、０、±１、±２、・・・を整数と云います。だから、０　は自然数に含まれません。

ａ の値の範囲の求め方は、よろしいです。答えは －５≦ａ≦－２/７　になると思います。