ガウスの法則

質問

密度ρ（ｒ）＝ρ。exp(-kr)で電荷が分布しているとき、ガウスの法則を用いて任意の点ベクトルｒでの電場ベクトルE(ｒ）を求めよ。とあるのですがさっぱりです。解法の糸口をおしえてください。]

回答No.1

First_Noel · ベストアンサー

ガウスの法則では，左右の違いはあるかも知れませんが，
例えば左辺は面積分，右辺は体積積分の式になっていると思います．

∫∫　εＥ　ｄＳ　＝　∫∫∫　ρ　ｄＶ

積分記号があってややこしいのですが，これは実は言葉で書けば，

「ある閉曲面に垂直な向きの電場Ｅの大きさは，
　その閉曲面に囲まれる体積の中にある電荷に等しい」

と言うことが出来ます．

ヒントとして，
半径ｒの球に一様電荷ρがるとして，その球面上の電場の強さは，

εＥ×（４πｒ＾２）　＝　ρ×（４πｒ＾３／３）

となります．（計算はご確認下さい．）

本件の問題も，このようにして解くことが出来ます．
（半径ｒの球を考えてみて下さい．）

回答No.5

akki123m

NO.2です。すいません。誤りに気付きました。変数がrというのから円筒座標系と安易に決めつけたように書いてしまいましたが誤りです。
質問者さんは問題の一部を書かれたものだと思い込んでその時の自分は本当に安易に書いたと思うんですが、円筒座標系は「密度ρ（ｒ）が仮にρ。exp(-kr)で円筒座標のZ軸上に最大の密度ρ。があり、rが大きくなるごとに密度が薄くなる」というような設定の時しか使えないような気がします。
皆さまが、おっしゃっているようにこの場合、密度ρ（ｒ）は球なのでNO.1（NO.3）さまがそれとなく指摘されているように、ガウス平面は球でとるのがよく、球座標系で考えるのが素直だと思います。
質問者さんには申し訳ないですが、もしまた私が誤りを言っていたら教えてもらえるとありがたいです。

回答No.4

Meowth

ρ（ｒ）＝ρ。exp(-kr)
の電界は球対象で、放射方向のベクトル
divE=ρ（ｒ）/ε。
半径rの球と球面について
∫divEdV=∫ρ（ｒ）/ε0dV
∫E・dS=ρ。/ε。∫exp(-kr)dV
4πr^2E
=ρ。/ε。∫sinθ(θ＝0→π)dθ∫(φ＝0→2π)dφ∫(r=0→r)exp(-kr)r＾2dr
[dV=r^2sinθdrdθdφ]
= 4πρ。/ε。∫exp(-kr)r＾2dr
k<>0として
＝4πρ。/ε。
×[2/k^2-(2/k^2+2r/k+r^2)e^(-kr)]/k
E
＝ρ。/ε。
×[2/(kr)^2-{2/(kr)^2+2/(kr)+1}e^(-kr)]

回答No.3

First_Noel

＃１です．
＃２さまの書き込みを拝見して，間違い気付きました．オハズカシイ・・・
訂正です．

誤）　∫∫　εＥ　ｄＳ　＝　∫∫∫　ρ　ｄＶ

正）　∫∫　ε　Ｅ・ｎ　ｄＳ　＝　∫∫∫　ρ　ｄＶ
　　　（但し，Ｅ，ｎはベクトル．ｎは閉曲面上の微小面積ｄＳの法線ベクトル）

回答No.2

akki123m

変数がrというのをみると、球座標か円筒座標系を使ってあるのでしょうか？
たとえば球の形をしていて、ρ（ｒ）＝ρ。exp(-kr)で電荷が分布しているとするとガウスの法則を使うと、この電荷がある球を囲むように、つまりその電荷の球をおおう球がガウスの法則を適用する面になります。
ガウスの法則の積分けいは　∫E・ｎds=Q/ε　ですから
上の例の場合　左辺の積分の部分は∫ds＝球の表面積（任意の点ｒでの）
右辺のQはｒの球が取り囲む全電荷量になります。密度に体積をかけたものが求める電荷量になります。