割り算について

質問

例えば
2÷(1÷2)＝4
のような計算をする場合、通常は()内を先に計算しますが、
()内を計算せずに()を取り去ってしまって良いのでしょうか？

もし取り去ると
2÷(1÷2)＝2÷1×2＝4
だと思うのですが、÷を二回重ねると×になる…って、正しいのでしょうか？

計算上はこうしないと答えが一致しないので、こうなるのかなぁと思うのですが、÷が2回で何故×になるのか…
直感的にはわかるような気がするのですが、うまく論理的な説明ができません。

すごく初歩的な内容で恥ずかしいのですが、自分で考えていたらこんがらがってきたので、皆さんの知恵をお貸しください。

回答No.12

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

「初めに見た時に、この質問が奇妙に思えたのはなぜだろうか」と考えてみました。
そして、その理由は、「÷という記号は余り使わないから」ということで、自分では
納得出来ました。

さて、ご質問の件ですが、証明してみましょう。
a÷(b÷c)＝a÷(b/c)＝a×(c/b)＝(ac)/b・・・定義に基づく計算。
a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×(1/b)×c＝(ac)/b・・・posso様の発見した計算法。
確かに同じになりましたので、正しいと言えます。

＞直感的にはわかるような気がするのですが、うまく論理的な説明ができません。

例　a-(b-c) を 0+a-(0+b-c) と考えます。
「全ての文字の前に符号を付けたい」ので、a を 0+a としています。
ここで、0は加法における単位元です。
すると、「－（　　）は（　　）の中の符号を変える」というルールを適用して、
a-(b-c)＝0+a-(0+b-c)＝0+a-0-b+c＝a-b+c となります。

これと全く同様に、×と÷の場合も、乗法における単位元1を用いて、
「全ての文字の前に符号を付ける」とすると、
a÷(b÷c)＝1×a÷(1×b÷c)となります。すると、
「÷（　　）は（　　）の中の符号を変える」というルールを適用して、
＝1×a÷1÷b×c＝1×a×1×(1/b)×c＝(ac)/b
となることが示されます。
加法と減法について納得されるならば、全く同様に、
乗法と除法についても成り立つということです。

[補足]
０は足しても、引いても、結果に影響を与えません。同様に、
１は掛けても、割っても、結果に影響を与えません。

お礼

多くの方から回答を頂きまして、本当にどうもありがとうございました。
本来なら一人一人の方にお礼を申し上げるべきなのでしょうが、
今回はここでまとめて皆様へのお礼を述べさせて頂きます。

ポイントに関しては、皆さんの回答に優劣をつけるようで心苦しいのですが、
今回の私の疑問に関して特にわかりやすく丁寧に答えてくれていると感じた方を対象に選ばせて頂きました。

皆様のご意見、大変参考になりました。
重ねてお礼申し上げます。どうもありがとうございました。

回答No.1

chomei

質問者さんの書かれているとおり、取り去っては解が異なってくるので、取り去ることはできません。