数１の三角比の公式は暗記?

質問

高校１年です。数Iの三角比をニューアクションβという参考書で独学してます。
それで、基礎の基礎である、sinA=斜辺分の対辺・・などというところはもちろん覚え、sin120°を求めよ、やcos30°cos150°を求めよ、などと鈍角の三角比までは求められるようなりました。

ここから本題です。
90°-θや180°-θの三角比って小タイトルで、
問題に、cos＾2(90°-θ)+cos＾2(180°-θ)を求めよってあります。
参考欄に公式紹介として、cos(90°-θ)=sinθ、cos(180°-θ)=-sinθとあります。これらは暗記だけでいいですか?考え方が分かりません。
また、問題の模範回答の途中式に、
(sinθ)＾2+(-cosθ)＾2とありますが、
なぜcos＾2(90°-θ)が(sinθ)＾2になったり、cos＾2(180°-θ)が(-cosθ)＾2　になったりするんでしょうか。
cos＾2(90°-θ)を例にすると、cos＾2(90°-θ)=cos・cos(90°-θ)だから、公式を利用すると　cos・cos(90°-θ)=cos・sinθ　になると思うんですが・・。
長々とすみません。結構急いでます。誰か返事ください。

回答No.8

kumipapa

みなさんがご指摘のように、三角比は単位円を描いて考えるようにしましょう。教科書や参考書にも記載されていると思いますし、皆さんが紹介されているサイトを参考にされると良いでしょう。まずは、単位円を描いてcos(90°±θ),sin(90°±θ),cos(180°±θ),sin(180°±θ)を考えることができるようになれば、暗記は全く必要がありません。また、今後三角比を使い続ける上でも、単位円を描いて考えると良い事が度々出てくると思いますので、是非身に付けるのが良いです。
なお、質問者さんの質問で、
＞　cos＾2(90°-θ)を例にすると、cos＾2(90°-θ)=cos・cos(90°-θ)だから、公式を利用すると　cos・cos(90°-θ)=cos・sinθ　になると思うんですが・・。
とありますが、cos^2θというのは、cos(cosθ)ではなくて、(cosθ)^2のことです。cosθ^2と書いてしまうと「θの2乗のコサイン」と読めてしまうので、(cosθ)^2のことをcos^2θという書き方をします。sin^2θやtan^2θも同じように、(sinθ)^2,(tanθ)^2のことです。
ですから、cos^2(90°-θ)=(cos(90°-θ))^2 = (sinθ)^2 = sin^2θ
cos^2(180°-θ)も同様に、(cos(180°-θ))^2=(-cosθ)^2=cos^2θ
です。

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱイメージが大切なようですね。

回答No.7

noname#47894

>参考欄に公式紹介として、cos(90°-θ)=sinθ、cos(180°-θ)=-sinθとあります。
cos(180°-θ)=-sinθは誤りです。cos(180°-θ)=-cosθが正しいのですが...
これらの公式の証明あるいは詳しい説明は出ていませんか？　出ていないとすれば、ちゃんと説明が出ている参考書を使用すべきでしょう（教科書には必ず出ているでしょうが、独学とのことですので...）。

それから、勘違いをされているようですが、
cos＾2 θという記号は　(cosθ)^2　すなわち、(cosθ)×(cosθ)　を意味しています。これは、数学的にどうのこうのではなく、単に書き方の問題です。いちいち、(cosθ)^2と書くと、括弧が多くて煩雑ですので、cos＾2 θ　と書いても良いという書法上のルールがあります。
こういうことも、教科書にはきちんと出ていると思います。お使いの参考書のできが悪いのかは判断しかねますが...

数学IIで、さらに公式が増えます。加法定理もマスターすれば、cos(90°-θ)=sinθ、cos(180°-θ)=-cosθ　もそこに含まれてしまいますから、記憶しなくても計算だけならできるようになります。
しかし、三角比の問題は、図形的な状況設定を使って問題を解いていくものが多いのです。「加えて９０°になる関係」、「加えて１８０°になる関係」を利用した図形的な問題はよく扱われるので、cos(90°-θ)=sinθ、cos(180°-θ)=-cosθ　を作図的に証明を理解した上で、記憶しておいたほうが良いでしょう（もし試験等で使うのであれば）。

お礼

回答どうもです。
あ、僕の文字うちミスかもしれません。ちょっとあとで確認します。
書き方のルールをわかってませんでした。
長文での回答どうもでした。
すごく参考なりました。

回答No.6

First_Noel

私は，工学の専門家ですが，高１のとき以来２０年間ずっと，
加法定理など少数の公式だけ覚えて，あとはこれをいじるか，
ご質問のような問題だとグラフをいちいち描いてやってます．
沢山覚えられるなら良いでしょうけど，ぱぱっと導出出来るなら最低限だけでも良いとは思います．
その場合，要となる図がぱっと描ける程度には理解しておくこと，
計算間違い（特に符号）には気をつけることにだけは留意しておく必要があります．

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱイメージが大切なようですね。

回答No.5

run_show

#4です。さっきのサイトにちょうど詳しくcos(90°-θ)=sinθ、cos(180°-θ)=-sinθなどの図形的な考え方が載っていたので、のせておきます。http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/keisan-no-kiso.html

お礼

どうもです。

回答No.4

run_show

高校の何年生でやるか忘れましたが、加法定理って言うものがあります。
例えば、sin(A＋B)＝sinAcosB+cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
などがあります。
詳しくはhttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/kahouteiri.html
で確認してください。
この加法定理を使えば
cos(90°-θ)=cos90°cosθ+sin90°sinθ
=0*cosθ+1*sinθ
=sinθ
と、導けます。
勿論この方法はかなり強引なので、＃１の方の仰る様に、図形的な判断が出来ると、ここの分野ではかなり強くなれます。
後、とても下品ではありますが、加法定理の覚え方を載せているサイトもありますので、暗記方法に興味があったら、yahooで「加法定理」と調べてみるのも良いかもしれません。
そのサイトは不適切だと思うので載せませんが。

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱイメージが大切なようですね。
サイトの紹介ありがとうございます。一度みてみます。

回答No.3

tecchan22

独学してるんだね。

●sin^2 θは、(sinθ)^2　のことです。sinの合成sin(sinθ)のことではありません。
二乗をいちいちカッコをつけて (sinθ)^2と書くのは面倒だし、カッコをつけなければ sin (θ^2) と勘違いするので、sinの右肩に２をつけることにしたんですね。

●９０°－θや１８０°－θの三角比は、#1の方の仰るように、図で理解します。
教科書に載っていますから、教科書を見ながら、解くようにしたらいいと思いますよ。

お礼

回答どうもです。
文字の書き方に関するルール。助かりました。そうことだったんですね。
やっぱイメージが大切なようですね。

回答No.2

10ken16

正弦定理や余弦定理は暗記ですが、
この程度は単位円を描くことで導けないと…。

(sinθ)＾2+(cosθ)＾2=1は
あんまり関係ありません。
これは三平方の定理から自明です。

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱイメージが大切なようですね。

回答No.1

himajin100000

図を描いてみてください。

http://www.musashino.ac.jp/m/1/no5/12.htm
単位円を書き
あるθを適当に定めたとき,cosθ,sinθがどこか探してください
90°-θの角を書いてください
合同な図形がありますね

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱイメージが大切なようですね。