二次方程式の判別式について

質問

こんばんは

二次方程式の判別式について質問です。

ax^2+bx+c=0の判別式(b^2-4ac)について

b^2-4ac＞0ならその式の実数の解は二つある。
b^2-4ac＝0ならただ一つの解
b^2-4ac＜0なら実数の解は無い。

こういうことのようですが、この判別式は単に解の数ではなく、数直線上の二
点の距離、二つの実数の差を表しているのでしょうか。

判別式を使って出た数字にはどんな意味があるのでしょう。

回答No.8

Ishiwara · ベストアンサー

＃７です。
> なぜ a で割るのでしょうか？
> x以外のアルファベットにはそれぞれ何らかの意味があるのでしょうか。また意味を託すに足るだけの定義があるのでしょうか。

そのような疑問を抱く方は、センスが良い方だと思います。これは、数学の本質を理解するのにとても良いことだと思っています。

数学というものは、物理法則などから離れて「一人歩き」しているものです。物理学などのほうから見て「この数学を使うと便利だ」と思えば、その手法を「借りに来る」だけの話なのです。

根の公式は、物理学などのいかなる数量も仮定に入っていません。２つの根の間の隔たりは、単に、x1=(-b+√(b~2-4ac))/2a と x1=(-b-√(b~2-4ac))/2a との差を機械的に計算したものにすぎません。分母の a が何を意味するかは、数学の側からは関知しないことです。

また |a| は、a であってもいいのです。ただし、その場合は a>0 という制約をつけておきます。この制約があったとしても、２次方程式の研究には、なんらの支障も生じませんから。

数学のほうでは「知らん」と言っても、利用する物理のほうから見れば、それぞれに意味が出てくるのは当然です。仮に y=ax~2+bx+c で、xが時間であり、yが高さ（距離）だとすれば、a は加速度、b は速度、cは距離の「次元」を持った物理量です。

判別式 d=b^2-4ac は、速度の２乗の次元を持っていますから、その平方根√dは、速度の次元を持っています。これを加速度の次元 a で割ってやれば、時間の次元を持つ x が得られます。数値はともかくとして「次元の整合性」が最も大切ですから、これが「a で割らなければならない重要な理由」だと言えるでしょう。

お礼

思わず声を上げてしまいました。教えてもらって声を上げたのはこれで二度目。

高校生になってから習う新しい概念かと思って方向性をそっちに振って考えて
いたのに、久しぶりに出ました目から鱗です。二次式の各項、各定数にはてっ
きり何らかの定義というか意味に則っているのかと思いきや、それを利用する
側が解釈しても良いのですね。

頭の片隅にあったはずの「応用」の二文字なのに、今回は全く出て来ませんで
した・・・。

有難う御座いました。

回答No.7

Ishiwara

> 数直線上の二点の距離、二つの実数の差を表しているのでしょうか。

よいところに目をつけましたね。
（√（判別式））/|ａ| が２点間の距離を表します。|解x1－解x2｜を計算すれば分かります。

補足

お早うございます。

返事が随分遅くなってしまいましたが、答えを拝見してはいました。
ですが、Ishiwaraさんのお答えで、散々考えて分からない部分があり、
試験が終わってからも考えていたのですがやっぱり分からないので質問させてください。

「ax^2+bx+c=0の判別式(b^2-4ac)で表されるのは二点間の距離か」という質問でした。

Ishiwaraさんは判別式を根で括ったものを距離aで割ることで距離が出る仰っていますが、
ではなぜaなのでしょうか。このaは「ax^2+bx+c」のaですよね。この二次式に出てくる
x以外のアルファベットにはそれぞれ何らかの意味があるのでしょうか。また意味を託す
に足るだけの定義があるのでしょうか。

参考書や教科書を探してみたのですが、判別式が距離を表すという捉え方では
載っていなかった為、従って「（√（判別式））/|ａ| 」の分子が何故|a|なのかも
載っていませんでした。

宜敷御願い致します。

回答No.6

NaoyaO

No1訂正です。
「強いていえばb^2-4acは軸と解の距離の自乗です。」
と書きましたが、正しくは
「強いていえばb^2-4acは軸と解の距離に2aを掛けて自乗した数値です。」
となります。
失礼いたしました。

回答No.5

hanazi

>>判別式を使って出た数字
この数字に大きな意味があるのではなく判別式の解が0より大きい、小さい、等しい
かどうかということに意味があります。
b^2-4ac＞０であれば解の公式の[{-b±√（b^2-4ac）}/2a]にあるように＋、－と
２つ解が存在するのでx軸と２点交わることになります。
b^2-4ac＝０の場合は±の部分が０となり、[-b/2a]になるので解が１つになり
x軸上で１点と接することになります。
b^2-4ac＜０は解が虚数となり解が存在しない＝x軸と交わらないことを意味します。

回答No.4

tomosuke07

ごめんなさいNo3ですがX=-2,-3でしたねｗ

回答No.3

tomosuke07

○○＞０なら放物線がｘ軸の２点を通っていて、○○＝０なら放物線の頂点がX軸に接していて、○○＜ならX軸に全く接してないということだと思います。
ｙ＝aX~2+bX+Cでｙ=０の時のことでしょうから。その時のＸの解例えば、y=X^2+５X+６ならy=0の時X=2,3ですよねつまり放物線がX=2,3で交わっているんですよ。
y=X^2+４X+４ならX=-2ですがそれは頂点が(－２，０）を表しますが、それと同時に判別式からも分かるようにＸ軸のー２で接するのですから解は１つですよね
あくまでもy=0として考えますから

回答No.2

chrometta

判別式は二次方程式の解の公式のルートの中身を表しています。
解の公式では
x=(-b±(b^2-4ac)^(1/2))/2a
となりますがこのルートの中身が正か負か０によって解がいくつになるかがわかります。

すなわち正の時は二つ
負の時は虚数となり解なし
0の場合は重解となるので一つです。

よって二つの実数の差は(D^(1/2))/aで求めることもできますが実際にはほかの方法でやった方が早いかもしれません。

回答No.1

NaoyaO

ax^2+bx+c=0の判別式(b^2-4ac)
というのは、
二次方程式の解の公式(-b±√(b^2-4ac))/2aの√の中身です。
また、-b/2aはその二次式の軸ですので
軸から左右に√(b^2-4ac)動いたところで曲線とX軸が交わります。
なのでb^2-4acの値自体には特に意味がありません。
注目すべきは符号だけです。
強いていえばb^2-4acは軸と解の距離の自乗です。