確率の問題で仮説、信頼度が分かりません・・・

質問

確率の勉強をしているのですが問題が解けません
A,Bの２チームが野球の試合をする。１試合でAチームが勝つ確率はｘ、
Bチームが勝つ確率は（ｘ－１）であり（０＜ｘ＜１）、それぞれの試合の勝敗は独立であるとする。
（１）３試合行った結果Aチームの２勝１敗となる確率をｘの式で表せ。
（２）（１）で求めた確率が最大となるｘの値を求めよ。
（３）１０試合行った結果、Aチームの８勝２敗となった。Aチームは
Bチームより強いと言えるかどうか考察せよ。
とあるのですが（１）は3C2（ｘ）＾２・（ｘ－１）と思うのですが
（２）から微分によって増減を求めよ。
（３）仮説や信頼度などは自分で設定せよ。とあります。
これは数学1・Aの範囲で解けるものなのでしょうか・・・

回答No.3

Ishiwara

＃２です。
> これではだめでしょうか・・・
完璧です。

ただし、元の問題は 1/2 ではなく、確率がｘなのですから、ｘとして解かないと最終的な答になりません。その場合 Ｘ=1/2 と置くことは、あまりお勧めできません。なぜかというと「負ける確率も同じく1/2」なので、この仮定は「非常に特殊な場合」に当たります。最終的な答に早く到達するためには、Ｘ=1/3 というように「より一般化された場合」のほうが良いと思います。

また「(1)よってAチームの方が強い」「(2)よってAとBの実力は同じである」という表現は削除したほうがいいでしょう。

(1) 「実力が同じだと仮定すれば、めったに起こらないことが起きた」「仮説は疑わしい」と言っているにすぎず「Ａのほうが強い」という断定はしていません。

(2) 同様に、「実力が同じだと仮定したとき、この結果は、自然のバラツキの範囲である」「仮説を疑うような結果ではない」であって「AとBの実力は同じである」という断定はしていません。

回答No.2

Ishiwara

簡単な二項分布の問題ですから、ネットでも十分に勉強できると思いますよ。

> 仮説や信頼度などは自分で設定せよ
とありますが、ちょっとヘンな表現です。

帰無仮説は「Ａ・Ｂチームの強さは同じである」しかないでしょう。
信頼度は、ふつうは９５％か９９％としますが、９９％で優位となる場合に９５％を選ぶ人もいないでしょうから、結局「自分で選んでよい」のではなく「正解が決まっている問題」と考えるべきでしょう。

補足

(3)の問題をわたしなりにやってみたのですが
Aチームの勝つ確率Pを「ｐ＝１／２」と仮定する。
この仮説の元で１０回の内Aが勝つ回数をXとすれば、Xは
２項分布B（１０，１／２）に従う確率変数であり、
P(X=K)＝10Ck（1/2）^ｋ（1/2）＾１０－ｋ
＝10Ck（1/2)＾10-k+k
＝10Ck（1/2)＾１０　（ｋ＝１，２，３，・・・１０）

いまAチームが８勝２敗となる確率は０．０４３９
有意水準を５％に設定した場合この仮説は棄却される。
よってAチームの方が強い
有意水準を１％にした場合この仮説は棄却されない。
よってAとBの実力は同じである。

これではだめでしょうか・・・
よろしくお願いします。。

回答No.1

stomachman

> １試合でAチームが勝つ確率はｘ、
> Bチームが勝つ確率は（ｘ－１）
本当ですかい？　試しにx=0.5を代入してご覧なさい。

（２）は3次関数が極大になるところを求める問題で、
(（１）で計算した式をxで微分したもの )= 0
という方程式を解く訳です。「数学1・Aの範囲」だかどうだかは知りませんが、もし微分をご存じないのなら、参考書でも見て勉強なされば良いでしょう。「範囲」以上のことを知ってはならない、なんて法律はありませんからね。

（３）は（１）（２）とは無関係な問題です。（３）で使う仮説（帰無仮説）は
H:「AチームとBチームの強さは同じである」
つまりx=0.5であると仮定するんです。
　その仮定のもとで、「偶然にもAチームが10試合中8勝以上する」ということが起こる確率Pを計算します。
　もしPがとんでもなく小さい（とても起こりそうにない）のであれば、仮説Hは棄却でき、つまり「Aチームの方が強い」と言える。
　もしPがさほど小さくないのなら、仮説Hは棄却できず、つまり「これだけのデータじゃ、なんとも言えない」という結論になります。
　ここで「Pがとんでもなく小さい」かどうかを判定するしきい値が「危険率」であり、すなわちPが危険率を下回ったら「Pがとんでもなく小さい」と判断します。
　で、(1-危険率）が「信頼度」です。大抵の場合、信頼度は95%とか99%に設定します。ですが、万が一にも間違って「Aチームの方が強い」と言ってしまうと大変なことになる、という事情でもある場合には（万が一なんだから）99.99%以上に設定するのが宜しいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます
本当に助かります
これは数学III・Cのところでしょうか・・・
Bの勝つ確率は１－ｘですすみません
もしよろしければこの問題の載ってる教科書の分野、良書など紹介してもらえないでしょうか