確率の問題です。

質問

少し前に確率の質問をさせていただいたのですが、、
もう一つ・・・。

ちょっと手も足もでないので、
ほんとにまるっと解説をお願いしたいです。

ＡとＢが試合を行う。試合は５セットからなり、先に３セットを取った方が勝ちである。
セットに引き分けはなく、Ａがセットを取る確率は２/３、Ｂがセットを取る確率は１/３とする。

（１）３セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。
（２）４セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。
（３）勝敗が決定するまでにセット数の期待値をもとめよ。

です・・・。

明日提出しなきゃならないプリントなのですが
全然わからないので、どなたか助けてください。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

まず、試合状況を以下の様に表現して、条件に合う場合を列挙していくことから始めたらどうでしょう。
各セットで勝った方を順に並べてみる。ABAAのように
(1)3セット目で勝敗が決定する場合の列挙
AAAとBBBの2通りですね。
それぞれの起こる確率を計算して合計すれば良い。AAAとBBBは同時には起こりませんから確率は和をとれば良いのです。
AAAとなる確率は　(2/3)*(2/3)*(2/3)です。　BBBとなる確率は　(1/3)*(1/3)*(1/3)です。
(2)4セット目で勝敗が決定する場合の列挙
　(1)と同様に列挙して見てください。例えば、AABAです。確率は(2/3)*(2/3)*(1/3)*(2/3)です。
AAABを入れてはいけませんよ。
(3)はちょい面倒ですね。
勝敗が決するまでのセット数は、3か4か5ですね。3と4の確率は(1)(2)で求めました。
同様に5セットで決する場合の確率を求めましょう。全部の確率を足すと1になります。計算が合ってるかどうか確かめることができます。
セット数の期待値の求め方は分かりますよね。

以上　がんばってみてください。

お礼

遅くなりましたが、、、
ご回答どうもありがとうございました！！

回答No.6

yyssaa

（１）３セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。
勝ちがA,A,A又はB,B,Bと続く3連勝の場合です。
Aの3連勝の確率は(2/3)^3=8/27
Bの3連勝の確率は(1/3)^3=1/27
よって答えは8/27+1/27=9/27となります。
（２）４セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。
3セットを終わった時点で2勝1敗の方が4セット目に
勝つ確率ですから、Aが2勝1敗の場合とBが2勝1敗の場合に
分けて考えます。
Aが2勝1敗となる確率=(3C2)(2/3)^2(1/3)=4/9
Bが2勝1敗となる確率=(3C2)(1/3)^2(2/3)=2/9
よって答えは(4/9)(2/3)+(2/9)(1/3)=8/27+2/27=10/27
となります。
（３）勝敗が決定するまでのセット数の期待値をもとめよ。
引き分けがないので、5セット目までに必ず勝敗が決まります。
従って、5セット目で勝敗が決定する確率は１から３セット
目で勝敗が決定する確率と４セット目で勝敗が決定する確率
を引いた値になり、1-9/27-10/27=8/27となります。
よって求める期待値は3*9/27+4*10/27+5*8/27=107/27
=3+26/27≒3.96セットとなります。

お礼

遅くなりました；；

ご回答どうもありがとうございました！！

回答No.5

NemurinekoNya

No.4です。

(3)で５セット目で勝負が決まる確率P５を求めるとき
　５セット目で決まる場合は
　4セット終了の時点でAが2セット、Bが2セットとっている場合なので
　P5 = 4C2*(2/3)^2*(1/3)^2 = 8/27

とした方がいいかも。

いずれにせよ、確率の和、つまりP3+P4+P5=1となることが大切。
ならなければ、P3、P4、P5の計算を間違えています。

お礼

おかげさまでだせました。

すごく
遅くなりましたが、
ご回答どうもありがとうございました！！

回答No.4

NemurinekoNya

僕は計算をよく間違えるから、計算しなきゃならない問題はやりたくないんだけれど…

(1)
Aが三回連続でセットを取る場合の確率
　(2/3)^3 = 8/27
Bが三回連続でセットを取る場合の確率
　(1/3)^3 = 1/27
この二つは排反なので、3セット目で勝負が決まる確率P3
　P3 = 8/27 + 1/27 = 1/3

(2)4セット目で決まる場合
Aの場合
　Aの場合は、3セット終了時点でAが2セット取っていて、次にAがセットをとればいい
　この確率は
　　3C2*(2/3)^2*(1/3)*(2/3) = 8/27　　　　　　（3C2は3個から2個取る組み合わせの数)
Bの場合
　同様に考えればいいから
　　3C2*(1/3)~2*(2/3)*(1/3) = 2/27
この二つは排反だから、求めるべき確率P4は
　　P4 = 8/27+2/27 = 10/27

（３）勝敗が決定するまでにセット数の期待値をもとめよ。
　まず、5セット目で勝負の決まる確率を求める
　勝負は、3セット目できまるか、4セット目で決まるか、5セット目で決まるかのいずれかの場合
　ということで、5セット目で勝敗が決する確率をP5とすると
　P3 + P4 + P5 = 1
　P5 = 1 - P3 -P4 = 1 - 1/3 -10/27 = 8/27

　よってセット数の期待値は
　　3*(1/3) + 4*(10/27) + 5*(8/27) = 107/27

回答で計算間違いをしていないか、ちゃんとチェックしてよね。

回答No.3

etranger-t

ＡＮｏ．２です。訂正します。

すみません、先ほどの（３）の期待値を３３％とお答えしましたが、正しくは、３．３セットです。

お礼

いえいえ；

遅くなりましたが、、、
ご回答どうもありがとうございました！！

回答No.2

etranger-t

（１）については、先に３セット取った方が勝ちなので、ＡかＢのどちらかが全勝すれば良いということなので、その確率は、

Ａが全勝する確率　２／３×２／３×２／３＝８／２７
Ｂが全勝する確率　１／３×１／３×１／３＝１／２７　の２パターンなので、
８／２７＋１／２７＝９／２７＝１／３ となります。

（２）はＡ、Ｂ共に３勝１敗するということですから、

Ａが３勝１敗する確率　２／３×２／３×２／３×１／３＝８／８１
Ｂが３勝１敗する確率　１／３×１／３×１／３×２／３＝２／８１
８／８１＋２／８１＝１０／８１

（３）最大が５セットなので、１～５セットまでＡとＢの確率を掛けていく。

１×２／３×１／３＋２×２／３×１／３＋３×２／３×１／３＋４×２／３×１／３＋５×２／３×１／３＝３０／９となり、期待値は約３３％

間違っていましたら、すみません。