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大学受験での確率問題について
- 大学受験でよく出る確率問題について質問があります。具体的には、ある問題の解答の式についての理解が不十分で困っています。
- 問題の解答式には、mがnと等しい場合と0からn-1までの場合で異なる式が使われています。
- 数学が苦手で、どのように考えれば問題の解答式にたどり着けるのかわかりません。アドバイスをいただけると助かります。
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とにかく一度裏が出てしまえばそれまでの積み重ねがすべてリセットされてしまうことがポイントです。 まず簡単に仕組みを理解するために、n=10として考えてみましょう。 mは0≦m≦nなので、たとえば７にして見ます。 すると１０回投げて最終的に高さが７になる場合を考えると、 次のようなことがわかります。 (1)１０回投げるうちに最後のほうで裏を出すことはできない。 (2)なので、途中でリセットされずに最後に７になるためには 最後の７回は連続して表が出なくてはならない。 (3)ということは、１投目はなんでもいい、 ２投目もなんでもいい、 ３投目は裏でなくてはいけない、 ４投目以降は全て表でなくてはいけない、 という仕組みがわかるはずです。 この考えをm=5とかｍ＝３とかの場合についても考えてみれば、 一般的に次のように考えられることに気が付きませんか？ つまり、 (1)最終的に高さが０でない場合は、途中から最後までその高さの回数 だけすべて連続して表が出なくてはならない。 (2)(1)の連続する前は必ず高さが０になっていなくてはならない。 (3)(2)で高さが０になるので、１投目からその時までは表でも裏でも かまわない。 と言うことが推測できます。 図でいえば（表は○、裏は×、どちらでもいいのは◎です）、 ◎◎◎……◎◎×○○○……○ という並びでのみ最後に高さが０でなくなります。 したがって、 ｍ＝ｎの時は×がいらなくて全て○なのでｐ＾ｍ それ以外（０≦ｍ≦ｎ－１）では １投目～ｎ－ｍ－１投目まではなんでもよい、つまり確率は１ ｎ－ｍ－１投目は必ず裏で、確率は１－ｐ ｎ－ｍ投目～最後まで（ｍ回あります）は必ず表でｐ＾ｍ ということで、 １×（１－ｐ）×ｐ＾ｍ＝（１－ｐ）ｐ＾ｍ になります。
