y=2x^3-6x^2-18x+13が極小値をとるときのxの値の求めかたを教えてください。

質問

y=2x^3-6x^2-18x+13が極小値をとるときのxの値の求め方（求める過程の一部分）を教えてください。
（2x^3=２の三乗を意味します）

解説書には、
f(x)=2x^3-6x^2-18x+13とすると、
f'(x)=6x^2-12x-18
=6(x-3)(x+1)　　・・・以下省略
とあるのですが、

f(x)=2x^3-6x^2-18x+13とすると、
f'(x)=6x^2-12x-18
の部分が理解できません。

初歩的な質問ですみませんが、
どなたか教えてください。

どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.2

fuuraibou0 · ベストアンサー

f(x)＝2x^3-6x^2-18x+13 を微分すると、
f'(x)＝3*２ｘ^(3-1)-1*18x^(1-1)＝6x^2-12x-18 になります。

この微分された f'(x) を導関数と云い、この値は、関数 f(x) のグラフにおいて、点 ｘ における接線の傾きを表し、極値（極大値または極小値）の接線は水平で、f'(x)＝０ です。

よって、f'(x)＝6x^2-12x-18＝6(x-3)(x+1)＝０ より、Ｘ＝３，－１ の点で、
f(x) は極値を取ります。

なお、Ｘ＝３，－１ の点で、f(x) が極大値または極小値のいずれを取るかの問題が残っていますが、解説書を見ても判らないとき、また、質問して下さい。

回答No.4

connykelly

微分法はご存知ですね。関数y=f(x)をxでの微分は(dy/dx)と書かれますが、これは点(x,y)での関数f(x)の接線の傾きです。接線の傾きは関数が増加している場合には正、減少している場合には負となります。これから微分の値の正負により関数の増減は判断できることになりますね。極大や極小（これらを極値といいます）というのは、増加と減少の境界点ですからその値は0 になります。
ということで与式を微分するとf'(x)=6x^2-12x-18=6(x-3)(x+1)となります。今の場合x=3,x=-1でこの関数は極値をとることになります。しからばx=3で関数f(x)は極大値か極小値いずれとなるのか、ごれはご自分で考察してください。以下のサイトは上で述べたことがわかり易く書かれていますので是非ご覧になってください。
http://www.heisei-u.ac.jp/mi/fukui/pdf/mathtext5b.pdf

参考URL：

http://www.heisei-u.ac.jp/mi/fukui/pdf/mathtext5b.pdf

お礼

丁寧なご説明、どうもありがとうございました。
おかげさまで無事、理解できました。
ＵＲＬも感謝いたします。
本当にありがとうございました。

回答No.3

fuuraibou0

fuuraibou0です。ちょっと微分を間違えていました。

f(x)＝2x^3-6x^2-18x+13 を微分すると、
f'(x)＝3*２ｘ^(3-1)-2*6x^(2-1)-1*18x^(1-1)
＝6x^2-12x^1-18x^0＝6x^2-12x-18＝6(x-3)(x+1)
　になります。

お礼

複数のお返事どうもありがとうございました。
おかげさまで無事、理解できました。
感謝いたします。

回答No.1

areajk

関数f(x)に対し、f'(x)は、f(x)の導関数です。（f(x)を微分したもの）
f(x)=x^n ならば　f'(x)=nx^(n-1)ですから、例えば　4x^3+x^2+x+1800 の導関数は 12x^2+2x+1 となります。

お礼

すぐのお返事どうもありがとうございました。
無事、理解できました。