汎関数：汎関数を極小にするy(x)を求める

質問

汎関数：汎関数を極小にするy(x)を求める

次の問題なのですが、
どうやってとき始めたらいいかアイデアが浮かびません。
汎関数は関数の関数だということはなんとなく分かるのですが、
解析力学で出てきた程度で
こんな問題は見たことがありません。

どなたか教えていただけるとうれしいです。

y(0)=0,y(1)=1を満たし、以下の汎関数を極小にする
y(x)を求めよ。

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

解析力学を勉強されたことがあるのでしたら「変分法」のところで出てきます。

ｙ＝ｆ(ｘ)だとします。
この曲線に沿っての微小な長さｄｓは
ｄｓ＝ｄｘ√(１＋(ｙ')^2)
で表されます。
したがって　∫[a→b]ｄｓは2点Ａ，Ｂを結ぶ経路の長さを表しています。
この問題は「２点Ａ，Ｂを結ぶ経路の中で距離が一番短くなるのは？」という問です。
答えは直線であるということが分かっています。
それを変分法を使って解いています。

最速降下線、懸垂曲線の問題も合わせてよく出てきます。

お礼

htms42様にはいつもご指導ご鞭撻を頂き、誠に感謝しております。

変分法とのことで、力学の教科書に載っておりました。
教えていただき、ありがとうございました。

回答No.2

Ae610

既にANo.1様が答えられているので蛇足になるが・・・

オイラーの方程式
∂F/∂y - d/dx{∂F/∂y'}=0・・・(1)
を満足するF(x,y,y)を見出す。

今の場合、F(x,y,y')=√(1+(dy/dx)^2)として計算！

答えはy=x

(変分法は微積分の教科書で扱っていないのかな・・！？)

お礼

ご回答頂き、ありがとうございます。
具体的にオイラー方程式を使うとのことで、
大変助かりました。