Y=X/(X+1)でY<1の場合のＸの値

質問

私立文系大学を卒業した社会人で数学をやり直しているところです。
よくわからない問題があるので、解き方と意味を教えてください。

問題：
Y=X/(1+X)の時、Yが1より小さくなるすべてのＸの値は次のうちどれか。
1) X>-1
2) X>1
3) X<-1
4) X<0
5) X<1

回答：１）X>-1

私は次のように考えて行き詰りました。
Y<1であり Y=X/(X+1)なので、X/(X+1)<1
これをX<1+Xとし、解こうとすると0<1となってしまいました。

回答を見ても全くわからず、解説が載っていなくて困っているので教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#75273 · ベストアンサー

X / ( X + 1 ) < 1 から
X < X + 1 の変形に問題があります。

X + 1 が正の数であれば問題ありませんが、
X + 1 は負の数の可能性も考えられます。
（両辺に X + 1 （負の数）をかけると、不等号が逆になります。）

なので、両辺に、( X + 1 )^2 をかけると、X > - 1 が算出されます。
（　実数^2 は常に 0 以上であるため、不等号が逆になることはありません。）

また、Y = X / X + 1 = X + 1 - 1 / X + 1
　　= 1 - ( -1 / X + 1 ) = ( - 1 / X + 1 ) + 1
の分数関数のグラフから、X の範囲を求めるのもありかと思います。

お礼

両辺に負の数を掛けたり割ったりするときは不等号の向きを変えるとは確かに覚えていたのですが、
(X+1)となっていてすっかり忘れていました。
でも(X+1)^2を両辺にかけるというやり方があるとは知らなかったので
大変助かりました。
ありがとうございました。
（分数関数という高度なものは私には手も足も出ないので(X+1)^2をかけるやり方で解こうと思います。）

回答No.3

sanori

こんばんは。

Ｙ　＝　Ｘ／（Ｘ＋１）

ここで、Ｘの範囲を分けて考えます。
Ａ：　Ｘ＜－１　の範囲では、Ｘ＜０、Ｘ＋１＜０　なので、Ｙ＞０
Ｂ：　－１＜Ｘ≦０　の範囲では、Ｘ≦０、Ｘ＋１＞０　なので、Ｙ≦０
Ｃ：　０＜Ｘ　の範囲では、Ｘ＞０、Ｘ＋１＞０　なので、Ｙ＞０

なお、Ｘ＝－１　は対象外です。（理由はお分かりですね？）

ここまでで、すでに、Ｂ（つまりＹ≦０）の、－１＜Ｘ＜０　はＸの範囲に含まれることだけはわかりました。

次に、Ｃについて考えると、
Ｘ／（Ｘ＋１）　＜　１
両辺にＸ＋１をかけると、Ｘ＋１　は正なので、
Ｘ　＜　Ｘ＋１
０　＜　１　（→　Ｃの条件で常に成り立つ）
つまり、Ｃ（の全体）もＸの範囲に入ります。

最後に、Ａについて考えると、
Ｘ／（Ｘ＋１）　＜　１
両辺にＸ＋１をかけると、Ｘ＋１　は負なので、
Ｘ　＞　Ｘ＋１
０　＞　１　（→常に成り立たない）
つまり、Ａ（の全体）はＸの範囲に入りません。

以上のことから
－１＜Ｘ≦０　または　０＜Ｘ
と求まりました。
２つの範囲を合体させて、答え（１）が得られます。

お礼

丁寧にご説明していただきありがとうございます。
両辺に負の数を掛けるか割るときは不等号の向きを変える、と確かに覚えていましたが、
記号になって（かつ”＋１”がついているので）すっかり忘れていました。
（なお、Ｘ＝－１が対象外なのは、0になるからと理解しています。）

よくわかりました。どうもありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>これをX<1+Xとし
無条件に両辺に 1+X をかけてはいけません。

お礼

記号が含まれていて、その記号の正負がわからないときは無条件に両辺にかけてはいけないんですね。
今後気を付けます。
ありがとうございました。