関数方程式f(x)=f(2x)の解き方が・・・

質問

閲覧ありがとうございます
fはR上の連続関数とする、この時関数方程式

f(x)=f(2x)

を解け。

この問題が分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。お待ちしています。

回答No.4

178-tall

f(x) が微分可なら、
f'(x) = [f(2x) ]' = 2f'(x) → f'(x) = 0 → f(x) = 定数

f(x) が微分不可なら？
ワカラン。

回答No.3

ask-it-aurora

任意の実数 x をひとつとり固定します．次で定義される点列 y[n] を考えます．
y[n] = x/2^n ( n は非負整数)
このとき f(0) = f(x) が成り立つことが次のように示せます．
f(0)
= f(lim y[n]) (n → ∞)
= lim f(y[n]) (∵ 連続性)
= lim f(y[0]) (∵ 関数方程式)
= f(x)
したがって連続関数 f は原点の値のみで決まり，定数関数にならざるを得ません．

逆に定数関数が関数方程式を満たすのは明らかです．

以上から解は定数関数に限ります．

回答No.2

noname#221368

R上で連続を厳密に守ります。そして以下は、予想です。

　例えば最初に、閉区間[0，1]上でfを考えます。f(1)＝bだったとします。

　fの定義より、f(1/2)＝f(1)＝bです。
　fの定義より、f(1/4)＝f(1/2)＝f(1)＝bです。
　fの定義より、f(1/8)＝f(1/4)＝f(1/2)＝f(1)＝bです。
　fの定義より、f(1/16)＝f(1/8)＝f(1/4)＝f(1/2)＝f(1)＝bです。
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・

　従って、任意のn≧0で、

　　f(1/2^(n+1))＝f(1/2^n)＝b

が成り立ちます。fはR上で連続でした。従って閉区間[1/2^(n+1)，1/2^n]では一様連続です。よって一様連続関数の性質より、閉区間[1/2^(n+1)，1/2^n]の長さが0の極限でfは、定数関数bに収束します。

　すなわち十分大きなnに対しては、[1/2^(n+1)，1/2^n]上で、f(x)＝bです。

　また点列{1/2^(n+1)}は明らかに0に収束します。よって一様連続関数である事からx→0のとき、lim f(x)＝ｆ（0）＝bが得られます。なので十分大きなnに対して、

　[0，1/2^n]上で、f(x)＝b

と言っても良いような結果が得られると予想します。ここでnは任意なので、

　[0，1]上で、f(x)＝b

です。従って任意の0≦xに対してf(x)＝b。x＜0についても同じ議論ができるので、R上でf(x)＝bです。

　もちろんx＝0で連続でなくても良いなどの条件があれば、#1さんのような関数もあり得るのだと思います。ただしそれは、一意には定まらず、一定の曲線パターンが、x＝0に向かって無限に折り畳まれていくようなイメージになると思えます。

　しかし、f(x)=sin(loga(x))　(a^(2π)=2)なんて、どうやったら思いつけるんだろう。自分には無理だ(^^；)。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

f(x)=C が解のひとつでであることは確か(^^;

x>0で連続でよいなら

f(x)=sin(loga(x))　(a^(2π)=2)

かな。