分数式がわかりません。。。

質問

塾テキストの問題です。
分数式の四則計算の単元（数II）だったのですが、見たことのない問題です。
どのように解いたらよいのかまったく分かりません。

●ｘ＋２／ｘ－ｘ＋３／ｘ＋１－ｘ－５／ｘ－３＋ｘ－６／ｘ－４

※↑の読み
（ｘぶんのｘ＋２）－（ｘ＋１ぶんのｘ＋３）－（ｘ－３ぶんのｘ－５）＋（ｘ－４ぶんのｘ－６）です。
（）でくくってみましたが、分かりづらくて申し訳ないです。

テキストの隅に「部分分数を用いる」というヒントがあったのですが、さっぱり意味が分かりません。
是非、皆様の力をお貸し下さい。
宜しくお願いします。

回答No.1

abyss-sym · ベストアンサー

(x+2)/x = 1+2/x , (x+3)/(x+1) = 1+2/(x+1)
(x-5)/(x-3) = 1-2/(x-3) , (x-6)/(x-4) = 1-2/(x-4)
となるので
(x+2)/x-(x+3)/(x+1)-(x-5)/(x-3)+(x-6)/(x-4)
=2/x-2/(x+1)+2/(x-3)-2/(x-4)
=2(1/x-1/(x+1))-2(1/(x-4)-1/(x-3))
=2/x(1+x)-2/(x-3)(x-4)
=(-16x+24)/x(x+1)(x-3)(x-4)
部分分数は用いていますが、あまり気にしなくていいと思います。

お礼

なんとなく分かったような気がします。
大変参考になりました。有難う御座いました。

回答No.4

kkkk2222

P={(x+2)/x}-{(x+3)/(x+1)}-{(x-5)/(x-3)}+{(x-6)/(x-4)}
>>部分分数。
部分分数分解は既になされているので、逆に、P=A-B-C+D　を　（分子が大きくならないように、共通因数が出現する様に）組み合わせて、P={A-C}-{B-D} とした方が若干速いという意味でしょう。
={ {(x+2)/x}-{(x-5)/(x-3)} }－{ {(x+3)/(x+1)}-{(x-6)/(x-4)} }
={ {(x+2)(x-3)-x(x-5)}/x(x-3) }－{ {(x+3)(x-4)-(x-6)(x+1)}/(x+1)(x-4) }
={ {(x^2)-x-6-(x^2)+5x}/x(x-3) }－{ (x^2)-x-6-(x^2)+5x}/(x+1)(x-4) }
={ (4x-6/x(x-3) }－{ (4x-6)/(x+1)(x-4) }
ここで、共通因数2(2x-3)が見えるので、
=2(2x-3){ {1/x(x-3)}－{1/(x+1)(x-4)} }
=2(2x-3){ {(x+1)(x-4)-x(x-3)}/x(x-3)(x+1)(x-4) }
=2(2x-3){ {(x^2)-3x-4-(x^2)+3x}/x(x-3)(x+1)(x-4) }
={-8(2x-3)}/{x(x-3)(x+1)(x-4)}

　しかしながら手順としては、（分数式は富士の山）と言う様に、
P={(x+2)/x}-{(x+3)/(x+1)}-{(x-5)/(x-3)}+{(x-6)/(x-4)}の各項を割り算をして、
P={１+(2/x)}-{１+(2/(x+1))}-{１-(2/(x-3))}+{１-(2/(x-4))}
　とすれば、１が全て打ち消し合い、２で括れるのも見えるので、
P=２{(1/x)-(1/(x+1))+(1/(x-3))-(1/(x-4)}　　となり、
　普通に前から、ふたつずつ組合せば良いので、
P=２{(1/x(x+1))-(1/(x-3)(x-4)}　
=２{ {(x-3)(x-4)-x(x+1)}/x(x+1)(x-3)(x-4))　}　
=２{ {(x^2)-7x+12-(x^2)-x}/x(x+1)(x-3)(x-4))　}　
=２{ {-8x+12}/x(x+1)(x-3)(x-4))　}
=－８{ (2x-3)/x(x+1)(x-3)(x-4))　}
　この方が良い気がします。

お礼

うーん。難しくて私にはとても解けそうにありません。(笑
詳しい解説大変参考になりました。
有難う御座いました。

回答No.3

noname#40706

Ａ２です

＞＞必ず簡単な式になると思いますよ。

あんまり簡単にはなりませんでしたね・・・・・・

Ａ１さんの計算結果であっているみたいです。

回答No.2

noname#40706

とりあえず、

（ｘ＋２）／ｘ＝１＋２／ｘ

ｘ＋３／ｘ＋１＝１＋２／（ｘ＋１）
ｘ－５／ｘ－３＝１－２／（ｘ－３）
ｘ－６／ｘ－４＝１－２／（ｘ－４）

というように変形してみてください。　これが　部分分数　にするということです。

すると、分子が簡単になりますので、　あとは４つの項の分母をよく見て、組み合わせを考えて足し算（引き算）すると　さらにまとめられます。　プラスマイナスに注意してうまく組み合わせるとと必ず簡単な式になると思いますよ。

がんばって下さい。

お礼

大変参考になりました。有難う御座いました。