部分分数

質問

x^4/(x-1)^2*(x-2)を部分分数にしたいのですが、
まずx+(4x^3-5x^2-2x)/(x-1)^2*(x-2)の形にしました。
この(4x^3-5x^2-2x)/(x-1)^2*(x-2)を部分分数にできれば問題は解けると思うのですが、
A/(x-2)+B/(x-1)+C/(x-1)^2とおいて係数を比較して計算してみたのですが、
うまくいきませんでした。たぶんx^3の比較がこれだとできないからだと思うのですが…
どなたか私の間違いを正してもらえませんか？

回答No.2

chomsky123 · ベストアンサー

>>x+(4x^3-5x^2-2x)/(x-1)^2*(x-2)

此れはまずい、分子は２次まで減らすのが常道。

P=(x+4)+［11(x^2)-18x+8］/［((x-1)^2)(x-2)］

［11(x^2)-18x+8］/［((x-1)^2)(x-2)］=A/(x-2)+B/(x-1)+C/(x-1)^2
両辺に［((x-1)^2)(x-2)］を掛けて、

11(x^2)-18x+8=A((x-1)^2)+B(x-1)(x-2)+C(x-2)
展開して、係数比較してもよいけれど、
なるべく楽になるように、
x=2
44-36+8=A
A=16

x=1
11-18+8=-C
C=-1

11(x^2)-18x+8=16((x-1)^2)+B(x-1)(x-2)-(x-2)
両辺を微分する。
22x-18=32(x-1)+B［(x-1)+(x-2)］-1
x=1
22-18=-B-1
B=-5

回答No.1

pandafish

(4x^3-5x^2-2x)/{(x-1)^2*(x-2)}をもう一回x^3項をはじき出してみると
x-4+(-21x^2+22x-8)/{(x-1)^2*(x-2)}となるかと思います。こうすれば
(-21x^2+22x-8)/{(x-1)^2*(x-2)}を分けるのは
(Ax+B)/(x-1)^2+(Cx+D)/(x-1)(x-2)
でできるはずです。

または
1/{x(x-1)^2*(x-2)}=1/x(x-2)-1/(x-1)^2
とできますので
x^4/{(x-1)^2*(x-2)}=x^5/{x(x-1)^2*(x-2)}=x^4/(x-2)-x^5/(x-1)^2
と分解できます。