微分積分の問題です

質問

ｘが正の有理数でありx=m/nのとき、a^x=(a^(1/n))^mと定義する。この定義はm,nの取り方によらないことを示せ。また、x,yが有理数で0<x<yのときa^x<a^yであることを示せ。
という問題なのですが、どうすればよいのかさっぱりわかりません。解き方、考え方を知りたいです。お願いします。

回答No.1

dame_dame_ · ベストアンサー

x=m/n=qm/qn　q整数
と書き換えられる
前半はa^xがqによらないことを示せばよい
a^x=(a^(1/qn))^qm
=(((a^(1/n))^(1/q))^q)^m
（たぶんこれを示す以前でa^(1/qn)=(a^(1/q))^(1/n)を
示していると思うのでそれを使って）
=(a^(1/n)^(q/q))^m (定義より)
=(a^(1/n))^m
よってm,nの取り方によらない

今示したことを使うと
x=m/n,y=k/lとすると
x=lm/ln,y=kn/lnと変形して代入すれば
0<x<yならばlm<knより
(a^(1/ln))^lm<(a^(1/ln))^kn
つまりa^x<a^y

お礼

丁寧にありがとうございます。