アインシュタインの総和規約について

質問

アインシュタインの総和規約で計算の仕方がわからないので質問させていただきました．展開するとき普通の計算のように，分配法則は使えるのでしょうか？私自身あまりわかっていないところがあるのですが，よろしくお願いします．実際に困っているのは次の式です．
Fi=(∂Uα/∂Xβ+∂Uβ/∂Xα)*Ciα*Ciβ
i:自由標，α,β=1,2:疑標(というのですか?)
展開すると以下のようになりました．もしよければ，確認もしていただけるとありがたいです．
Fi= 2*(∂U1/∂X1)*(Ci1)^2
+2*(∂U2/∂X1+∂U1/∂X2)*Ci1*Ci2
+2*(∂U2/∂X2)*(Ci2)^2

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

> アインシュタインの総和規約

というのは、同じ添え字が出てきたら、それについては和をとるものと解釈するということで、要するにΣの記号をいちいち書くのが面倒なときに便利だから使うものです。

> Fi=(∂Uα/∂Xβ+∂Uβ/∂Xα)*Ciα*Ciβ

これをΣの記号をあらわに書くことにすると、

Fi=Σ_{α=1,2} Σ_{β=1,2} (∂Uα/∂Xβ+∂Uβ/∂Xα)*Ciα*Ciβ …(1)

ということになります。

iについて、同じ添え字が繰り返し出てきているのに、和をとらないのは、左辺にもiがあるので、iは各々のiの値一つ一つについて、この式が成立つと解釈すべきだからです。つまり右辺の形だけ見て判断するのではなくて、左辺まで含めて、文脈で判断します。

さて、(1)ですが、和には、(α,β) のすべての組が一回ずつすべて出てきますので、

Fi = (∂U1/∂X1+∂U1/∂X1)*Ci1*Ci1
　　　+ (∂U1/∂X2+∂U2/∂X1)*Ci1*Ci2
　　　+ (∂U2/∂X1+∂U1/∂X2)*Ci2*Ci1
　　　+ (∂U2/∂X2+∂U2/∂X2)*Ci2*Ci2

ということになり、整理すればご質問の文の結果に一致します。

お礼

ありがとうございました．

回答No.1

connykelly

どのような意味のある式か分かりませんが、書かれている展開式で合っていると思います。

お礼

ありがとうございました．