微積

質問

lim[x→a]f（x）=bの定義をのべ、 lim[x→0]xsin1/x=0
lim[x→0]sin1/xは存在しない
lim[x→∞](sinx)/x=0
を示せというもんだいです
お願いします。

回答No.1

info22_

>lim[x→a]f（x）=bの定義をのべ
定義は教科書に載ってはずなので自身で確認して下さい。

|x*sin(1/x)|=|x|*|sin(1/x)|≦|x|なので
lim[x→0] |x*sin(1/x)|≦lim[x→0] |x|=0
∴lim[x→0] x*sin(1/x)=0

lim[x→0]sin(1/x)
1/x=2nπ(n→∞)のとき
　lim[x→0]sin(1/x)=lim[n→0]sin(2nπ)=0
1/x=2nπ+π/2（n→0）の時
　lim[x→0]sin(1/x)=lim[n→0]sin(2nπ+π/2)=sin(π/2)=1
x→0の時xの0への近づけ方により異なる極限値をとる。
これはx→0の時の極限値が存在しないということに他ならない。
∴lim[x→0]sin(1/x)は存在しない（収束しない）。

x>0では|sin(x)/x|=|sin(x)|/x≦1/xなので
lim[x→∞]|(sinx)/x|≦lim[x→∞] 1/x=0
∴lim[x→∞](sinx)/x=0

参考URL：

http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/kousiki/kyoku2.html