ご教授ください（中学卒業程度の問題）

質問

此方の　http://www.pref.osaka.jp/nokai/faq/siken/19A1.pdf
数学　４の（ウ）５の（３）・（４）が如何しても分かりません。

色々とやっては見たのですが、まったくのお手上げ状態でして。
両方とも図形が絡んでいるので、ココに問題を書かず
大変面倒な形になってしまいましたが、何卒宜しくお願い
致します。

回答No.5

shenyi401 · ベストアンサー

ほとんど答はでているようですが，蛇足ながら。

まず，５の(４)について，9m^2-18m+8=0はたすきがけの因数分解が適当ですが，今の中学生レベルなら解の公式が使えます。

４のウについてですが，頂点Ｃから直線ＢＤに下ろした垂線の長さ(5√3)を底面の半径とし，ＢＤを高さとする円すいを考えてください。空白の部分ができると思われるかもしれませんが，線分ＢＤの長さが決まっていて，頂点Ｃと直線ＢＤとの距離が一定であれば，頂点Ｃはどこにあっても同じ計算になります。(２)ができているのであればわかると思います。

そのように考えると，5√3を半径とする円すいと5/2√3を半径とする円すいの和から，5/3√3を半径とする円すいをひいた答が1025πとなります。
もちろんすべての円すいの高さはＢＤです。

お礼

お答え頂き、有難う御座います。

平行線と面積の関係ですね。全然気づきませんでした。。。
確かに、そうですね。只、５／２√３・５／３√３を半径とした
円錐が何処から出てきた奴なのか、分かりません。。。
もし、ご面倒でなければ、お教え願います。何卒宜しく
お願い致します。

下の方の方にも書きましたが、確かに面倒ではありますが
解の公式で、十分に中学生でも解けますね(^^;;

回答No.10

Quattro99

> 底辺が斜めになっていて、計算が面倒なので、頂点Ａ・頂点Ｃ
> の位置をずらして、計算を省略する為に
（BDに平行に）位置をずらしても体積が変わらない理由がわかっておいでなら結構です。その理由を「回転させる三角形の面積が変わらないから」と誤解されているのではないかという心配です。

お礼

あっ、なるほど。流石にそういった考えは一切ありませんでした。
度々本当にすみませんでした。そして、有難う御座いました。

回答No.9

Quattro99

#3、4です。
4についてはややこしいやり方をしてしまったようで、#5さんのように、△ABDを回転して出来る立体の体積と△CBDを回転して出来る立体の体積の和から△EBDを回転して出来る立体の体積を引くのが簡単でした。
なので、全くの蛇足になってしまいますが、#3で説明したやり方で計算する場合に、GDとかDHとかの長さを具体的に求める必要はありません。4(2)でPHやRHの長さがわからなくても計算できるのと同じで、4(1)(ウ)で求める立体の体積は結局BDの長さの関数になるはずです。

あと、ちょっと気になるのですが、#7や#8のお礼欄で、
> 平行線と面積の関係を考慮に入れて
とか
> 面積大移動の件
とあるのですが、例えば、△BCDを回転して出来る立体の体積と、Cを通りBDに平行な直線にDから垂線を引き交点をPとしたときの△PBDをBDの周りに回転して出来る円錐の体積が同じになるのは、△CBDの面積と△PBDの面積が等しいからではありませんが、その点は大丈夫ですか？

お礼

昨日から、大変お騒がせしております(^^;;

いえいえ、ややっこしいやり方だなんて。違った方法を
見聞するのも、大変参考になって、助かります！

ＢＤ間をＸ、ＧＤ間をｙと置いて計算を進めると
巧くｙが消去され、ちゃんとＢＤ＝３６と出ました。
何処か計算を間違えていた、ケアレスミスかと思います。。。
お騒がせ致しまして、大変失礼致しました。

最後の件ですが・・・・
私は、底辺が斜めになっていて、計算が面倒なので、頂点Ａ・頂点Ｃ
の位置をずらして、計算を省略する為にと理解したのですが、
違ってましたか？(^^;;　そういった意味で、平行線と面積の関係
・面積の大移動等と、使わせて頂きました。何か、面積とも
関係あるような説明ですが、もし私の考えが間違っていた、
又は、誤解を与える様な説明でしたら、大変申し訳御座いません
でした(^^;;

回答No.8

shenyi401

#５です。

表示のしかたの問題でしょうね。5/2√3は，「2分の5，√3」のつもりで，5/3√3は，「3分の5，√3」のつもりでした。つまり，Ａ，Ｅから直線ＢＤに下ろした垂線の長さです。失礼しました。

お礼

おはよう御座います。そして、わざわざ補足を有難う御座います。

下の方のお礼を書いて出したら、グットタイミングで・・・(^^;;

そうなのです。。。。私の変な勘違いが招いた結果が。。。
親切に、教えて貰ったのに、恩を仇で返すような結果になって
しまって、申し訳御座いませんでした。（ちょっと、大げさ過ぎ
でしたかね(^^;;　無事に、回答の方は納得致しました。

完全に立体で考えていたので、平面上での、面積大移動の件に
完全にやられてしまった感じです。本当に色々と有難う御座い
ました。

回答No.7

akira47

4-ウ
各頂点A,C,EよりBDに垂線を下ろすと言うことは直角を作っています。
AB∥CD∥EFであり、BDに対して60°
即ち、30゜60゜90゜の三角形の辺の関係は１，２，√３です。
正三角形の頂点の１つから垂線を下ろせば分かります。

お礼

おはよう御座います。又、大変お騒がせしております(^^;;

半径を出す時に、三平方・比を使って、私は分母を
有理化しない状態で出していたので、回答者の方も、その様に
有理化した後の半径を出してきたのだと思い、五分の√３とは
一体何処から出てきたのか？などと、変な勘違いをしておりました。

朝一で、改めてやり直した所、平行線と面積の関係を考慮に入れて
Ｂ・Ｃ・Ｄの円すい　Ａ・Ｂ・Ｄの円すいを足して、Ｂ・Ｅ・Ｄの
円すいを引いて、無事にＢＤの長さ３６ｃｍを出す事に成功
致しました。変な勘違いな質問に、御忙しい中お付き合いして頂き
有難う御座いました。

回答No.6

akira47

5-4で、△OAC:△OBC=9:1であり、底辺はOC共通。
よって、面積比は、高さの比(yの値)となります。
ですので、△OAC:△OBC=2:(点Bのy座標)=9:1
点Bのy座標は2/9となりますし、y=x^2/2より、
y=x^2/2=2/9よつて、x=+-2/3と出てきますが、x<0より、X=-2/3この値を2m-2=-2/3に入れれば、m=2/3のみ出てきます。
x座標の値を求めさせた意味が此です。
解答に持って行くために、その都度値を求めさせているのであって、単独で求めさせては居ません。
解答の仕方がまずいために、出てきたものです。
解答の仕方は色々あります。この内どれが流れに沿ったものであるかの判断です。

お礼

回答、有難う御座います。

比でやれば、シンプルで簡単に出ますね(^^;;　何か、意固地に
成りすぎて、変な方向にズブズブ入り込んで居たようです(^^;;

これでいけば、＋－２／３と出て、傾きｍは、ｍ＞０であるので
ｍ＝２／３　と一発回答。目から鱗が落ちました。
有難う御座いました。

回答No.4

Quattro99

5の（3）について書き忘れました。
y=(1/2)x^2とy=mx-2m+2を連立させてx^2-2mx+4m-4=0となりますが、片方の解が2だとわかっていますから、解と係数の関係からもう一つの解が求まります。解と係数の関係をならっていなくても、左辺を因数分解してしまえば解が求まるわけで、一つの解が2だとわかっていますから、割と簡単に因数分解できます。

お礼

度々すみません。

解と係数の関係・・・ａ＋ｂ＝ーｂ/ａ　ａｂ＝ｃ/ａですよね？
そうすると、０になって、答えが出なくなってしまったのですが(^^;;
それが駄目だったので、因数定理を使ってやったのですが
出ました！　しかし、あくまでも裏技（一様、中学程度の問題
なので(^^;;この問題って、中学生が解けるのか謎が残りました(^^;;

（４）の問題・・・垂線ですね。全然気づきませんでした。。。。
只、あれで行くと、ＦＤの長さをどの様にして表したらよいか
今、考えているのですが、一向に分かりません。。。。

確かに、解の公式を使えば、中３で解けますね(^^;;
お礼のボタンを押した瞬間、しまったと。。。。　
どうも、すみませんでした。

回答No.3

Quattro99

4の（ウ）は、E、CからBD（とその延長）に垂線を降ろし交点をG、Hとして、四角形ABGEを回転させた立体の体積と四角形EGDCを回転させた立体の体積の和を考えます。
前者は三角形ABDを回転させた立体の体積から三角形EGDを回転させた立体の体積を引けば出ます。
後者は三角形CBHを回転させた立体の体積から、三角形EBGを回転させた立体の体積と三角形CDHを回転させた立体の体積を引けば出ます。

5は#2さんの最後の行に注釈があるように０＜ｍ＜１の条件から4/3は2/3と求まります。
9m^2-18m+8=0は左辺を因数分解して解を求めることが可能だと思います。

回答No.2

banakona

５の（３）・（４）だけ。

（２）ができているんですよね。そしたら（１）で立てた放物線の式と連立させれば出てきますよ。
ｙを消去してｘの2次方程式として強引に解くと、交点Ａ，Ｂのｘ座標が出てきます。
図から０＜ｍ＜１だけれど、これを気にしなくても、一方は点Ａ（ｘ＝２）だから、２じゃない方がＢのｘ座標です。

　△Ｏ ＡＢ：△Ｏ ＢＣ ＝８：１なので△Ｏ ＡＣ：△Ｏ ＢＣ＝９：１
△Ｏ ＡＣ と△Ｏ ＢＣ は、底辺Ｏ Ｃ が共通なので高さ（ｙ座標）が９：１。
今度は０＜ｍ＜１に注意すればｍが出てきます。

お礼

御忙しい所、誠に有難う御座います。

一番最初に答えを書くのを忘れていたんで、ココで補足させて
頂きます。先ず、（３）はｘ＝2ｍ－２　（４）は、ｍ＝2/3
だそうです。　（３）ですが、それだと　ｙ＝1/2ｘ＾2
それと、ｙ＝ｍｘ－２ｍ＋２の連立ですよね・・・私もそこに
行きついたのですが、そうすると、ｍが邪魔をして方程式が。。。
って感じになって、行き詰まりになってしまったんですが・・・
因みに（２）の答えはｂ＝－２ｍ＋２となり、これは何とか自力で
答えを導き出しました。

（４）ですが、９：１までは理解できるのですが、そこから何故
答えの、ｍ＝2/3　成るのかが。。。(^^;;　

ＢのＸ座標が　２ｍ－２なので、これを1/2ｘ＾2に代入して
２ｍ＾2－４ｍ＋２を出して、これが一倍にあたるので
９倍にして１８ｍ＾2－３６ｍ＋１８　と出して、Ａのｙ座標は
２であるので、＝２として二次方程式を出したら、一様２／３
４／３と出たのですが、４／３と言う、余計な数字が出てくるし
中学程度じゃ、この方程式は解けないしと・・・・ますます
こんがらがって来ました(^^;;　もしお時間が有ればで良いので
詳しい解説がありましたら、是非お願い致します。

回答No.1

Quattro99

> 色々とやっては見たのですが
どうやったのかを書いてください。丸投げ状態だと回答できません（このサイトの規約で禁止されています）。

補足

これは失礼致しました。早い話、最初から何を如何したら良いか
分からないと、云ってしまった方が早いのですが(^^;;

例えば、４（ウ）では、Ａ・Ｂ・Ｃの回転体の体積を出すと
Ｃ・Ｅ・Ｄの回転体の体積はどうやったら出せるとか

５（３）では、Ｂを（ａ，1/2ａ＾2）とおいて方程式を
出そうとしても、出来ないしと・・・・全ての問題において
最初から如何をすれば良いのかと、お手上げ状態なのです。