三角錐の計算について

質問

数学に強い方お助けください。
下記リンク先、最後の５番三角錐の問題ですが
（２）コサインの値（３）三角錐の高さの求め方が解りません
高校程度の問題だと思いますがお恥ずかしいです＾＾；
問題
http://www.pref.osaka.jp/nokai/faq/siken/19A2.pdf
解答
http://www.pref.osaka.jp/nokai/faq/siken/19A2_kaito.pdf
宜しくお願い致します。

回答No.3

debukuro

全く分からない、では問題の丸投げです

高校程度の問題→中学校の問題です
知っていること駆使して考えてください
あれこれ思い巡らせるのではなく沢山ある三角形を一つづつ検討しどの定理が当てはまるか、どの公式が使えるか
数学は１足す１の積み重ねです
過去を思い出してください

ヒントをひとつだけ
ギリシャの数学者とタイル

回答No.2

hanako171

中学生レベルに毛が入った程度です。

三平方の定理（ピタゴラスの定理）とＳＩＮ・ＣＯＳの
意味と三角錐の体積の求め方、三角形の相似、典型的
直角三角形の各辺の比（3：4：5、1：2：√3等)がわか
れば解決です。

(２)
注目点は、△ＡＢＤ、△ＡＣＤが３：４：５の直角三角形
であることです。したがって、△ＡＭＤも直角三角形です。
三平方の定理により、ＡＭ＝２√３、ＤＭ＝√２１、
また、△ＡＭＤの角Ａが直角であるので、
ＣＯＳθ＝２√３　／　√２１
　　　　＝２√３　／　√３√７
　　　　＝２　／　√７
　　　　＝２√７　／　７

(３)
△ＡＭＤに着目し、ＡからＭＤに垂線を下ろし、交点をＰ
とする。△ＡＭＰと△ＡＭＤは相似。
したがって、
ＡＭ：ＭＤ＝ＡＰ：ＡＤ
２√３　：　√２１　＝　ＡＰ　：　３
ＡＰ　×　√２１　＝　３　×　２√３
ＡＰ　＝　６√３　／　√２１
ＡＰ　＝　６√７　／　７

そもそも、△ＡＭＤが直角であるので、(４）の三角錐の体積
がいきなり求められる。
体積　＝　１／３　×　△ＡＢＣの面積　×　ＡＤ
　　　＝　１／３　×　４√３　×　３
　　　＝　４√３
そこから(３)を逆算することも可能です。

お礼

ありがとうございます。辺ＡＭ・ＤＭまでは解りましたが
・△ＡＭＤが直角三角形であるのが判らなかった事
・三角形の相似を忘れていた事
・２√３を√１２のままにしていた事
で行き詰まっていました。

平方根・三角比からやり直してきます。
お手数をお掛け致しました。

回答No.1

age_momo

補足要求です。

１．AM,MDの長さは求められますか？
２．三角関数の余弦定理は覚えていますか？書けますか？