三平方の定理を使った面積を求める問題です

質問

知り合いの子供の中学校の発展問題です。
30年以上ぶりの図形問題で主婦はお手上げ状態です。

図のような三角形の面積を求める問題です。
三平方の定理を使うのだろうな、三角定規が３つ見えるな～、というところまではわかったのですが、解き方でつまづいています。なにせ√がが入った式も30年以上ぶり。
図にはA、B、Cの３つの方法をメモしておきました。
いずれの方法でやってみても、答えが同じになりません。√を含むからでしょうか？それとも、ただの計算間違いでしょうか。
一番スマートな方法を探しています。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

4500rpm · ベストアンサー

正方形と三角形に分けて考えます。
三角形は角度が30°なので正三角形の半分の直角三角形です。
直角三角形の高さと底辺の比は1：√3になります。（三平方の定理を使ってもよいです）
「””」をｘと置くと、底辺はｘ+√3ｘ＝5です。
あとは、面積を求める式を作り、Xを代入すれば、求められます。

しかしこれよりも簡単な解き方があります。
以下のyoutubeをご覧ください。
https://www.youtube.com/watch?v=hQFPT-gMU2w&t=190s&ab_channel=Stardy-%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97%E3%81%AE%E7%A5%9E%E6%8E%88%E6%A5%AD

問題は違いますが、こちらの人もおすすめです。
https://www.youtube.com/channel/UCa3XhA4LYuCTM03DeBtB3bQ/videos

お礼

You Tubeのほうを拝見しましたが、目からうろこでした。
ルートなしでも導きだせるとは。キレイですね！
結局、ルートを使う方法でも計算してみたのですが、計算間違いなのでしょう、同じ解答にたどり着けませんでした。

この問題を最初見た時、ない頭で、√を使わないほかの方法はないかとかなり考えたのですが、全く思いつきませんでした。
数学でない分野でも、解決不能と思われる問題（例えば世界各地の紛争問題）に直面したとき、なんでも発想の転換の余地がいくらでもあると思い直せることにつながるんではないかと思えました。数学、すごいです。

また、おすすめの人の動画、とてもこれから役立ちそうです。
中学生で数学が得意な子だったら楽しめますね。
親が教えてあげられない上、塾へ入れるお金もないので、子供にこれを見て学んでいってもらえればと思いました。

ありがとうございました！

回答No.4

staratras

No.3です。もう少し簡単に解けることに気が付きました。下の図の左側で、黄色の正方形と二等辺三角形の面積はx^２となり、等しくなるのがポイントです。そこで求める面積をSとすると、この２倍は正方形の半分の直角二等辺三角形から黄色の細長い二等辺三角形の面積(x^２)を引いて、重複した黄色の正方形の面積(x^２）を加えたものになり、結局正方形の半分の面積です。したがって２S=５×５÷２=25/2　だからS=25/4 です。

なお、頂角が150度(等角15度)で等辺が2xの二等辺三角形の面積がx^2になる理由が下の図の右側です。同じ二等辺三角形をくっつけて平行四辺形を作れば、その高さはxとなりますので面積は(2x)×(x)=2x^2 となり、二等辺三角形の面積はその1/2のx^2です。

お礼

２つも回答をいただき、ありがとうございます！
この問題の解き方は無限にありそうで奥深いですね。
中１の息子はこちらも理解できたそうです。ただ、わたし（母）としては、二つの黄色いところがなぜ同じ面積になるのか、すぐに理解できませんでした。

それにしても、数学は奥深くて、あらためてこの歳になってしみじみしてしまいます。数学できる人・好きな人はどこかで電車待ちしていても暇しませんね。気が休まるときがないとも言い換えられますが。

すばらしい世界をご案内いただき、ありがとうございました！

回答No.3

staratras

この図形の高さ(ご質問の図で＝印の長さ）をxとおいて解くのが正攻法でしょうけれど、下の図のように考えると、xの値を具体的に解かずに答えが得られます。

求める面積の2倍は1辺が5の正方形の面積から、黄色い面積を引いたものです。黄色い部分の面積は、「1辺が(5-x)の正方形」＋「等辺が2xで頂角が30度の二等辺三角形」ですが、「等辺が(5-2x)の直角二等辺三角形」の部分が重複しています。

1辺が(5-x)の正方形の面積は(5-x)×(5-x)=25-10x+x^2
等辺が2xで頂角が30度の二等辺三角形の面積は
(2x)×(x)÷2=x^2
等辺が(5-2x)の直角二等辺三角形の面積は(5-2x)×(5-2x)÷2=25/2-10x+2x^2

そこで求める面積は
〔5×5-(25-10x+x^2)-x^2+(25/2-10x+2x^2)〕÷2=25/4

お礼

ご回答をいただいていることに長く気付かず、大変失礼しました。
なるほど！こんなやり方もあるのですね。なかなか思いつきません。
中１の息子も読ませていただいて自分で理解できました。
いただいたＮｏ．４の回答よりわかりやすいそうです。

回答No.2

mienaikuuki

三角形の垂直の辺（高さ）をaとすれば斜辺は2aだから底辺は
√３×a
正方形部分の面積はaの2乗三角形部分の面積は√3×aの2乗÷2
全体の面積は(1+(√3/2))×aの2乗
5cm=(1+√3)×a　a=5÷(1+√3)だから
(1+(√3/2))×25÷(1+√3)の2乗
面積は台形の面積の公式で計算しても良いと思います。
計算の優先順位を間違えないようにすれば問題ないと思います。
普通の電卓だと間違いやすいと思います。

お礼

ご解答ありがとうございます。
いただいたお答えをもとに、取り組んでみました。
「正方形部分の面積はaの2乗三角形部分の面積は√3×aの2乗÷2」
ということですが、
「正方形部分の面積はaの2乗、三角形部分の面積は√3×a÷2」
という理解でよいのでしょうね？
…それにしても、計算が苦手で、きちんとした答えが導き出せませんでした。
代入方法でやると、思っていた以上に計算が複雑になるのですね…。

解答No.1の方にご案内いただいた方法で（つまり√の計算なしで）納得することにしました。
力をつけて、またチャレンジしたいです。
また、このページに戻ってくると思います。

本当にありがとうございました。