変数係数線形微分方程式

質問

変数係数線形微分方程式の問題です。
与えられた特殊解を利用してこれに独立な他の特殊解を求める
一つの解は「t」

回答のほうよろしくお願いします。

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

これは、オイラーの微分方程式で、定数係数にできるけど、
質問に従って、階数低下法で求める。

x''+px'+qx=0

この1つの特殊解x1がわかれば、もう1つの特殊解x2は、

x2=x1∫(t1→t)x1(s)^(-2)exp(-∫(t0→s)p(σ)dσ)ds

で、求められるというのが階数低下法です。
t1、t0は、積分が収束するように適当にとる。
これは、適当なテキストで、勉強してください。
で、

質問の場合、
t^2で割ると、

y''+4/t・y'-4/t^2・y=0

で、
y1=t、p=4/t、q=-4/t^2
になる。したがって、

y2=t∫(0→t)s^(-2)exp(-∫(1→s)4/σ・dσ)ds
=t∫(0→t)s^(-2)exp(-4log s)ds
=t∫(0→t)s^(-2)exp(log s^(-4)))ds
=t∫(0→t)s^(-2)・s^(-4)ds
=t∫(0→t)s^(-6)ds
=t・t^(-5)/5=-t^(-4)/5

これが、解になっているか確かめてください。

また、オイラー微分方程式の解き方で解くと、
y=c1t+c2t^(-4)
となるでしょう。

間違っていたら、ごめんなさいね。

お礼

ありがとうございます。
すごく役に立ちました！！！