中学３年生から質問された問題

質問

中学３年生の息子から質問されたのですが、既に理解の範囲を越えています。
　何方かおわかりになるようでしたら教えてください。
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　次のように、１から１５までのすべての自然数の積をＡとする。
　Ａ＝１×２×３×４×・・・×13×14×15
　このＡの値は２ｎ乗（ｎは整数）で割り切れる。
　このとき、ｎの最も大きい値を求めなさい。
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回答No.1

noname#6248 · ベストアンサー

2,4,6,8,10,12,14を素因数分解してみてくださいな
2＝2、4＝2・2、6＝2・3、8＝2・2・2、10＝2・5、12＝2・2・3、14＝2・7
２が何回出てきましたか、それが答えではないでしょうか…
つまりｎ＝11
奇数を素因数分解しても2なんて出てこないのであえてしませんでしたが…

お礼

早々にご回答を頂きましてありがとうございます。
教えて頂いた内容は理解できました。ありがとうございます。

回答No.3

hinebot

素因数分解ってわかりますか？
整数を素数（１と自分自身以外に約数がない数）の積であらわすことです。
例えば、
4=2×2
6=2×3
12=2×2×3=2^2×3 (^2は2乗のことです）
といった具合です。

この問題は、この素因数分解の考えが基本にあります。問題を言い換えると
Ａを素因数分解して、Ａ＝2^n×3^m×…　と表したときのnを求めなさい、ということになります。

解き方ですが、奇数は２で割れませんから偶数を素因数分解して
それぞれに２がいくつあるか数えればいいわけです。
偶数は7個（2,4,6,8,10,12,14)
うち４の倍数は4と8と12 これらには２が２つずつあります。
さらに８には２が３つあります。
ダブっているのを数えないようにして、
4+2×2+3 = 11 が答えになります。

お礼

早々にご回答を頂きましてありがとうございます。
また、ご丁寧な回答を頂き感謝しております。
教えて頂いた内容は理解できました。ありがとうございます。
今後もお力を貸して頂ければありがたい限りです、よろしくお願いします。

回答No.2

Singollo

『Ａの値は２ｎ乗で割り切れる』では何の2n乗かがわからないと答えようがありません

『2ｎ乗』でなく『2のｎ乗』なら、2から14までの偶数をすべて素因数分解して、2が計何個あるか数えればいいのではないかと思います

あるいは『ある自然数の2ｎ乗』の場合なら、2から15までのすべてを素因数分解して一番多い素因数(この場合も2ですが)の個数/2(端数切捨て)がnの最大値になると思います

お礼

表現が正しくなかったようですみません。ご指摘の通り「２のｎ乗」と表現すべきところでした。内容については理解しましたありがとうございます。