子供の頃の算数の疑問

質問

子供の頃、ふと不思議に感じたこと、円周１０ｃｍのケーキは１０÷３＝３．３３３３３３３３・・・で３人に正確に等分することができない。
でも角度で考えると３６０度÷３＝１２０度なら３等分できる。
数学っていったいなんなんだろう？
いまでもよくわからん。
数学の先生、わかりやすく教えてください。

回答No.7

sanori

＃５です。
補足にコメントさせていただきます。

＞＞＞
私の言いたかったことは、数学の１０進法の10÷3では現実には円周10ｃｍのケーキは切れませんよ、ということです。
３等分するための規準は角度でもいいし、重さでもいいわけです。
この場合、数学の１０新法と日本のメートル法が合わなかったということです。

はい。
長さであれ、角度であれ、重さであれ、
ケーキ全体の外周、角度、重さをたまたま３等分できる目盛りがあれば３等分できます。
ただし、メートル法云々は本質的ではありません。
ケーキ全体÷３　を測ることができさえすればよいのですから、
１０進法か他のｎ進法であるかは関係ありません。

＞＞＞
それを、現実の世界に数学の理論だけを押し通して無限小数だから割り切れる、とかいう考えはどうかなあというものです。

「無限小数だから割り切れる」という趣旨のことは回答していませんよ。
無限小数で表される大きさというものが、現に存在するということを書いただけです。
ケーキを希望通りの大きさに切り分けるときには、定規や分度器や量りに丁度の目盛りが必要である、ということです。

補足

少し誤解をあたえるような書き方になってしまいました。
私のsanoriさんにたいする補足は現実問題と数学問題をごっちゃにしたaquarius_hiroさんの投稿内容に反論するもので、私もsanoriさんとほぼ同じ考えですよ、ということを言いたかったわけです。
メートル法を出したのは、割り切れないのは単に度量衡の問題だということを言いたかったわけです。

だからsanoriさんの言うように

>ケーキを希望通りの大きさに切り分けるときには、定規や分度器や
>量りに丁度の目盛りが必要である

まったくその通りなんです。
誤解を与えたみたいでした。申し訳ありませんでした。

回答No.6

a1b2c3d4vx

二つの問題が挙げられているようです。
「3.33333…のような循環少数の問題」と「円周率のような超越数の問題」です。どちらも10進法という表記の仕方が原因となっていますが。

循環小数の問題ですが例えば次のように考えて納得するしかないでしょう。
10/3＝3.333… の両辺に3をかけると 10＝9.999… になります。（あくまで9.999…9 と9.999… は違う数値です。）
これは10進法の表記法だけが問題で、1＝0.999… はいくつもの仕方で証明できます。
あくまで表記の仕方が問題なので、実数を使わないp-進法という表記法で回避が可能です。

次に円周率ですが、こちらが曲者です。
円周率は仮にπと表記されますが、これはいくつか導出方法があります。
簡単なものでは π/2＝2/1×2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9×10/9… があります。
分子は偶数が、分母は奇数が2回ずつ増加しているのが分かります。
しかしまた … が登場したので無限に掛け合わせて行かなければなりません。
つまり円周率は定義はできますが、10進法どころか実数で表記することは不可能なのです。
実数で表せない円はもちろん数学的概念として定義はできますけど、現実世界には存在し得ないのです。
コンパスによって作図できるのではと考えるかもしれませんが、それは限りなく円に近い擬似円でしかないのです。
教科書に印刷された円も、原子レベルで観察すれば円ではないです。円という概念を示す記号です。
点や線、球も同様の理由から現実には実在不可能です。

あくまで無限のような概念は現実には有得ない、必ず10進法で有理数となるものしか実在し得ません。
数学では無限分割可能な長さも、実世界ではプランク長という飛び飛びの最小値をとるからです。

まとめると、
数学的には無限が定義ができる、しかし現実世界ではそれが意味をなさない。
数学的な問題と現実の問題を区別しなければならないのです。

お礼

>実数で表せない円はもちろん数学的概念として定義はできますけど、現>実世界には存在し得ないのです
>点や線、球も同様の理由から現実には実在不可能です

私もa1b2c3d4vxさんと同じ事を考えていました。
私はプログラマーをやっていますが、モニター上に表される物はすべて点（ドット）で構成されています。
ですので、厳密にいえばすべてのものが
>原子レベルで観察すれば円ではないです
と同じく、とことん細かく割って行けば（拡大して見れば）最終的にはあるかないかに集約されます。

ただ、こういう論理展開をここですることは私の本意ではありません。
もちろん数学が各科学分野で大きな貢献をしているのは知っています。
ただ、数学で解決できない（解決に適さない)問題もあるということです。
それを無限小数だなんだ理屈をならべてみてもまったく現実には解決策にはならないということを言いたかった訳です。

”数学は世界の共通語”という認識をする人もいますが、所詮は人間が定義したものです。

科学の最大の基礎でもないし万能でもなく、ある種の恣意的な考えによって簡単にかわるものだということです。
今の小学生の算数では”π=３”になった。
それがいい例です。

>まとめると、
>数学的には無限が定義ができる、しかし現実世界ではそれが意味をなさ>ない。
>数学的な問題と現実の問題を区別しなければならないのです

まったくその通りでそれが現実的な解決法でしょう。

回答No.5

sanori

この世には、無限小数で表される「大きさ」が現に存在しますよね。
有理数の例
１２０／３６０　＝　１／３　＝　０．３３３３３・・・
１／９　＝　０．１１１１１・・・
無理数の例
√２　＝　１．４１４２１・・・
π　＝　３．１４１５９・・・

ですから、質問者さんがおっしゃる「等分することができない」というのは、
本当に「等分できない」「そういう大きさが存在しない」のではなく、
単に、十進法の定規の目盛りに丁度合わせて切ることはできない」ということです。

分度器は、中心角を１８０度と定めた扇形（半円）ですから、
１２０度０分０秒　のところの目盛りを使って、たまたま３等分できるだけの話です。
中心角１８０度で半円の分度器を使えば、３６０の約数である
２等分、３等分、４等分、５等分、６等分、９等分、１０等分、１２等分
はできます。

しかし、７等分は、ちょうど合う目盛りが無いのでできません。
しかし中心角を７等分した分度器を作製してそれを使用すれば、７等分ができます。

というわけで、
定規や分度器の目盛りに、たまたま合うときは等分できる、
ということなのでした。

補足

私の言いたかったことは、数学の１０進法の10÷3では現実には円周10ｃｍのケーキは切れませんよ、ということです。
３等分するための規準は角度でもいいし、重さでもいいわけです。
この場合、数学の１０新法と日本のメートル法が合わなかったということです。

それを、現実の世界に数学の理論だけを押し通して無限小数だから割り切れる、とかいう考えはどうかなあというものです。

回答No.4

rabbit_cat

1=0.999…
なんです。これを認めないと、１０進数という表記法を矛盾なく定義する（well-definedといいます）ことができません。
そういう意味で、これは、１０進数という表記法の定義の一部ともいえます。

整数や有限小数で表記可能な数は、１０進数という表記法では、２通りの表記をもちます。

補足

ウィキペディアで誰かの書いた文章を読ませていただきましたが、理解できなかった、というより途中で理解しようとする努力がつきた、という感じですね。

自分で言うのもなんですが、私の文章読解力はかなりのレベルだと自負しています。
実際、学校や予備校の全国レベルのテストでもトップクラスでした。
その私が理解できないのだから理解できる人はごくごく少数でしょう。

rabbit_catさんは1=0.999…の証明過程を理解されているのでしょうか？

数学の弱い私ですが恥ずかしながらプログラマーをやってきました。
２進数ではどうなのでしょうか？

それとここでは関係のない話題ですが、技術系の人は論理的に文章を構成する力が弱すぎるのではないでしょうか？
テクニカルライターやプログラマーの書いているマニュアル（主にプログラム言語系のもの）をずっと読んできて強くそう感じてきました（もちろん翻訳の有無もあるんでしょうが）

回答No.3

aquarius_hiro

こんにちは。

> 円周１０ｃｍのケーキは１０÷３＝３．３３３３３３３３・・・で３人に正確に等分することができない。

ここで「等分することができない」というのが間違っています。

そう教えた人がいたのでしょうか？

その人の理解が間違っています。

3.3333… というのは、3が無限に続くということで、それでイコールが成立つという式なので、すでに等分できています。

実際、3.3333…×3 = 1 になります。

3.3333…だと、いつまでたっても終わらないから、割り切れないではないか、と思えてしまうかもしれません。

しかし、それは、3を一つ一つ左端から有限の時間をかけて認識すると人間は思いがちだからです。つまり頭の中では、

3.3、3.33、3.333、3.3333

という具合に、零コンマ何秒かで一つ一つ考えてしまうのでしょう。

そうすると、いつまでたっても、無限の 3333… の最後に到達できないと考えてしまい、「割り切れない」と思ってしまうのかもしれません。

しかし、10÷3=3.3333… という式は、一つ一つの3を認識するのに、時間をかけることを前提にしていません。それは読む人の間違った思い込みです。

すなわち、=3.3333…と書いたら、もうその瞬間に、無限まで書いたことになるので、その瞬間割り切れています。

> 円は確実に存在する。
> だから円周率も確実に終わりがあるはず
> でも円周率ってずっと続くんですね（今のところは）

これも同じ理屈です。

おっしゃるとおり、円周率は確実に存在しています。

これを、「終わりがない」「ずっと続く」と考えるときに、円周率の数字の一つ一つを、有限の時間を書けて目で追うことをイメージしてしまうと、「まだ終わらない」というふうに、時間の感覚を導入してしまうことになります。

しかし、円周率そのものの数字に、時間を書けて認識しようという前提はありません。πと書けば、もうその瞬間に無限まで続いているのです。

> もし円周率を規準にして１とすればどうなるんでしょう？

1という数字は、他の何をかけても同じものになるという性質があります。（a×1＝a）逆にいえば、それを 1 というものの定義です。

従って、πをそのまま1とおくことはできないのです。

しかし、これは数としてのπの話であり、例えば、ものの長さを考えるときに、今まで1メートルと思っていた長さが、1/π（新メートル）となるように、新しい単位「新メートル」を定義するということなら、それは自由にできます。

そうすると、πメートルの長さが、1新メートルになるわけで、それには何の問題もありません。（単位の換算をしているだけなので。）

しかし、これはけして、数として、πを1と置いたわけではありません。
それは不可能です。

実際、例えば面積を考えると、1「平方新メートル」になる面積は、π平方メートルではなくて、π^2（πの2乗）平方メートルになります。数としてπを1と置いたのなら、π^2平方メートルでなくて、π平方メートルが1平方新メートルになるはずですが、そうはなりません。

補足

>ここで「等分することができない」というのが間違っています。

>そう教えた人がいたのでしょうか？

>その人の理解が間違っています。

>3.3333… というのは、3が無限に続くということで、それでイコールが成立つという式なので、すでに等分できています。

誰にも教えられていません。
私自身そう考えたから質問しているわけです。
そう考える人の方が圧倒的に多いのではないでしょうか？

机上の数学ではその考え方が正解なのでしょうが、小学校４年生のこの質問にいまの答え方で理解させられますか？
それにあなたの理論では等分はできても3.3333…永遠の余り0.000000…1が解決されていません。
現実問題、数学の10÷3=3.3333…という方法では子供たちはケーキを３等分には永久にできできないわけです。
ですので私は違う尺度、角度というものを使えば簡単に３等分できるといったのです。

>しかし、10÷3=3.3333… という式は、一つ一つの3を認識するのに、時間をかけることを前提にしていません。

別に時間云々は問題にしていません。
ただ、特別なルール（定義）をしないと、物理上も10÷3=3.3333…と永久に続くことは事実ではないでしょうか？私は数学者ではないしたいして興味もなかったので数学の詳しいルールはわかりませんが。
普通人の思考では永遠に続くもの＝解決不能なのではないでしょうか？

>πと書けば、もうその瞬間に無限まで続いているのです

それは数学の定理ですか？
私なりに調べてみました。

>>1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンはπ が超越数
>>になっていることを示し、円積問題が解けない（与えられた半径の
>>円と同じ面積を持つ正方形を定規とコンパスで作図することはできない）ことを導いた

上の文章が事実なら、つまり円周率を求める事は不可能であると取る事ができますね。
それを時間云々などというあなた独自の論理をもってこられても困ります。

私が説明するなら「円周率を求める事は不可能だと判明した。だからやむなく、なるべく近い、ほどよい桁数の数字を円周率＝πとした」と言うでしょう。

１０÷３＝３．３３３３・・・・も無限になってしまうので”無限小数”という名前にして定義しようということではないのでしょうか？

ケーキを例に出しましたが、現実上では、数学では割り切れない数字も実際には等分できることなどはわかっています。
ただ数学者たちがどのように解釈しているかを知りたかったわけです。

>ここで「等分することができない」というのが間違っています。

ですので正確にはこれは間違いというより、やむなく無限小数という言葉を定義にすることで解決したということではないでしょうか？。

>しかし、これは数としてのπの話であり、例えば、ものの長さを考える>ときに、今まで1メートルと思っていた長さ>が、1/π（新メートル）と
>なるように、新しい単位「新メートル」を定義するということなら、
>それは自由にできます。

ちなみにπ＝１としたのはあくまでも物の例えで、
数学でいう１という意味でなくあなたが上で説明していただいたとおりの意味です。
言葉足らずでした。

回答No.2

3000mg

うまく言えないのですが、計算式を使った際に起こる矛盾なんですね。
実際は割り切れるんですけど…

例えば
7000×1/2＝3500 と 7000×3/6＝3500 は同じ事ですよね。

でもこれを別の方法で計算すると
7000÷2×1＝3500 と 7000÷6×3＝3499.999… になってしまいます。

私は数学の先生ではないので分かりにくかったらごめんなさい(^^ゞ

回答No.1

Cupper

素直な疑問ですね。

これ、実を言うと数字を気にしてはいけないものなんです。
少数を考えてしまうので割り切れないと思ってしまうんですね。
小学校の算数では、計算の基礎として商と余りを求める計算をします。
このため実際は割り切れるのに「割り切れていない」と教え込まれるんです。
（中学の数学では、無限小数と言う形で割り切れる事を学びます。
　これを ちゃんと教えてくれる教師は少ないですけどね。）

分かりやすい例を上げるとすると・・・
１０時間を３で割ると、3.3333…時間 と無限小数で示す時間になりますが、
これを分に直してみると、200分と綺麗に割り切れます。
要は、数字と単位に惑わされているだけなんですね。
10cm ＝ 3ensyu なんて勝手な単位を定義すると、ensyu単位では３で割り切れますよね。

補足

解答ありがとうございます。
>要は、数字と単位に惑わされているだけなんですね。
なんとなくは単位の問題だとわかっていたのですが

>中学の数学では、無限小数と言う形で割り切れる事を学びます
初耳です。勉強になりました。

ただ、専門家の人はどう解釈していてどう説明するのかがずっと気になっていたもので、これですっきりしました。

で、そこで浮かぶ疑問が円周率
円は確実に存在する。
だから円周率も確実に終わりがあるはず
でも円周率ってずっと続くんですね（今のところは）
これも数字と単位のトリックで解決できないんですか？
誤解を受けるのを敢えて言えば、円周率自体も数字と単位に惑わされているだけなのではとか思ってしまいます。
もし円周率を規準にして１とすればどうなるんでしょう？