仕事と線積分についての問題がわかりません。

質問

問題文そのままです。

原点から物体を（ｘ，ｙ，ｚ）へ移動させる仕事Ｗを計算せよ。
ただし、経路として次のものを考える。
（０，０，０）→（ａ，ｂ，ｃ）＝（ｓｘ，ｓｙ，ｓｚ）
ｓは０≦ｓ≦１を満たす助変数とする。
また、各座標軸方向の力はＦx＝４ｘ^3ｙ、Ｆy＝ｘ^4、Ｆz＝０である。

この問題の解き方がわかりません。解答例を書き込んでいただけないでしょうか？よろしくお願いします！

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼と補足をありがとうございます。

＞１つ疑問に思ったんですが、ｘ＝ｓａではなくｓｘ＝ａのはずなんですが・・・

　私もその点はおかしいなと思っています。

＞ただし、経路として次のものを考える。
＞（０，０，０）→（ａ，ｂ，ｃ）＝（ｓｘ，ｓｙ，ｓｚ）
＞ｓは０≦ｓ≦１を満たす助変数とする。

　この記述からすると、例えば、ｘ成分では、座標ａを表すのにｓとｘの２つの変数を用いていることになり変です。
　恐らく、「＝（ｓｘ，ｓｙ，ｓｚ）」は、座標点（ａ，ｂ，ｃ）と等しいのではなく、原点からの移動の仕方が一直線であることを示すために、（ｓａ，ｓｂ，ｓｃ）　という点を通って移動することを言いたかったのでなかろうかと想像しています。
　でなければ経路として考えたときの辻褄が合いません。

　質問欄の内容は問題文そのままとのことですので、問題文に誤記があったと考えています。

回答No.1

Mr_Holland

仕事Ｗは、力Ｆと変位の微小変化分ｄｒとの内積を経路に沿って積分することで得られます。

　　Ｗ＝∫Ｆ・ｄｒ　　　　・・・・・☆

　いま問題から助変数ｓを使って、ｘ＝ｓａ、ｙ＝ｓｂ、ｚ＝ｓｃ（０≦ｓ≦１）という経路で移動することが指定されていますので、この変数変換によって、ｄｘ、ｄｙ、ｄｚ、Ｆｘ，Ｆｙ，Ｆｚは次のように置き換えられます。

　　dx＝a・ds、dy＝b・ds、dz＝c・ds
　　Fx＝4a^3・bs^4、Fy＝a^4・s^4、Fz＝０

　これらを式☆に代入して積分を　０≦ｓ≦１　の範囲で実行すると次のように仕事Ｗが求められます。

　　Ｗ＝[s=0→1]∫(4a^3・bs^4*a・ds + a^4・s^4*b・ds + 0)
　　　＝[s=0→1]∫5a^4・b・s^4・ds
　　　＝a^4・b

　なお、今回は問題の指定によって経路上を積分することで仕事を求めましたが、問題で与えられた力は、以下に示す条件を満たすことから保存力であり、経路によって仕事が変わらない性質があります。

　　∇×Ｆ＝０　　（ただし、∇＝(∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
　⇔∂Fz/∂y-∂Fy/∂z＝０、∂Fx/∂z-∂Fz/∂x＝０、∂Fy/∂x-∂Fx/∂y＝０

　さらに、その仕事Ｗは保存力場のポテンシャルの差分に等しいので、このことを利用すれば、もっと容易に仕事Ｗを求めることができます。

　ポテンシャルの差分を　Ｕ　としますと、力との間に次の関係が成り立ちますので、

　　Ｆ＝　－∇Ｕ
　⇔Fx＝－∂U/∂x、Fy＝－∂U/∂y、Fz＝－∂U/∂z

この関係を使って、与えられたＦから逆算してＵを求めると、

　　Ｕ＝-x^4・y
　⇒Ｗ＝Ｕ(0,0,0)-Ｕ(a,b,c)＝a^4・b

であることが分かり、これが最初に経路で積分して求めたＷと一致していることが分かります。
　この方法は、手早く仕事やポテンシャルの差分を求めることのほか、今回のように、保存力場の中で経路に沿って移動する物体の仕事を求めるときの検算として使うこともできますので、覚えておくとよいと思います。

お礼

いろいろなやり方まで教えてもらって、ホントに感謝です(涙)
本当にありがとうございました!!!

補足

１つ疑問に思ったんですが、ｘ＝ｓａではなくｓｘ＝ａのはずなんですが・・・