ベクトルについて

質問

運動がx軸方向で、(a,0)→(b,0)へ動いた場合における力Fの仕事W
を求める際、
→
F=(Fx,Fy)=(-kx,0)の力のする仕事は、
　　 →　 →
∫c F・ｄｒ＝∫ｃ(-kx,0)・(dx,dy)
　　b
＝∫-kx・dx
　　a
となると思うのですが、「(-kx,0)・(dx,dy)」の部分で、
→ 　　　　　 →
F＝(Fx,Fy) dr=(dx,dy)というように、ベクトルFとベクトルdr
の「力学量の空間」は互いに異なるのに
（x軸、y軸の量が互いに異なる）、
どうして-kxとdxをかけ合わせることができるのでしょうか？
もしかして、Fx軸ととdx軸の方向が同じだからできるのでしょうか？

参考：http://www.geocities.jp/newtondynam/sugaku/spapoint.html

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「力学量の空間が異なる」とか「x軸、y軸の量が互いに異なる」とはどういう意味でしょうか?
「成分」を離れて考えることで, F・dr という内積それ自体には意味があります. ただし, それぞれを (-kx, 0), (dx, dy) とあらわしたときに F・dr = (-kx)・dx + 0・dy とかけるためには F と dr を表現するために使う基底 (座標系) が特別な条件を満たす必要があります. つまり, それぞれの基底が互いに双対になっていなければなりません.
と面倒なことを書いたけど, つまるところ「2つの基底が一致している (かつ正規直交基底である)」という条件を満たしていれば OK.

お礼

>つまるところ「2つの基底が一致している (かつ正規直交基底であ
>る)」という条件を満たしていれば OK.
なるほど。自分も似たようなことを考えていました。
そのことについてしっかり理解するには大学に行ってから、
ベクトル解析をしっかり勉強しなくてはいけなさそうです。

調べてみたのですが、Tacosanさんの回答は、内積空間とか、
ヒルベルト空間についての話と関係するのでしょうか。

とにかくありがとうございました。

補足

「x軸、y軸の量が互いに異なる」
これはつまり、ベクトルの属する空間の次元（力とか位置とか）
が異なるという意味で書きました。

回答No.3

Tacosan

加減算ができるためには次元が等しくないといけませんが, 乗除算については次元が異なっていても計算することができます. これはスカラーでもベクトルでも同じです. 例えば「電流」と「電圧」をかけると「電力」になるとかの計算をしますけど, 電流と電圧は次元が違いますよね.
ここまでが 1つの話で, 「F・dr が -kx・dx と書けること」はまた別の話になります. ここに疑問をもつのはある意味当然で, 実際は「そうなるよう」に座標を設定してあります. この辺が「双対空間」とかの話になって, 詳しい内容は大学の線形代数でやるかもしれません.
まあ, 座標系の設定を考えると「まず位置をあらわすために座標系を与える」ところから始まります. で, この「位置」の時間に関する 2階微分が「加速度」, その加速度に質量をかけたのが「力」です. だから, 特に言及しなければすべて同じ座標系を共有することになります.

お礼

「F・dr が -kx・dx と書けること」はまた別の話になります. ここに疑問をもつのはある意味当然で, 実際は「そうなるよう」に座標を設定してあります. この辺が「双対空間」とかの話になって, 詳しい内容は大学の線形代数でやるかもしれません.
まあ, 座標系の設定を考えると「まず位置をあらわすために座標系を与える」ところから始まります. で, この「位置」の時間に関する 2階微分が「加速度」, その加速度に質量をかけたのが「力」です. だから, 特に言及しなければすべて同じ座標系を共有することになります.

↑
分かりやすい説明でした。ありがとうございます。

補足

加減算ができるためには次元が等しくないといけませんが, 乗除算については次元が異なっていても計算することができます. これはスカラーでもベクトルでも同じです. 例えば「電流」と「電圧」をかけると「電力」になるとかの計算をしますけど, 電流と電圧は次元が違いますよね.

↑
これを前提として、F・drの話をされているんですね。
きめ細かな注意ありがとうございます。

回答No.2

nennem

例えば、机の上で質点が円運動するとき、その速度v↑は座標r↑の描く円軌道の接線方向になります。
これは同じ空間、というか場所(今は机の上)で起こっています。
「力学量の空間」というのはあくまでそれらが(x,y,z)、(vx,vy,vz)という量で表せるというだけのことです。
当たり前ですが一般にv↑やWをxyzで表すことはできないですからね。

＞Fx軸ととdx軸の方向が同じだからできるのでしょうか？
本質的には関係ないですね。もちろん内積F↑・dr↑を計算する上でFxとxは同じ方向である必要はあります。
これは計算の手段の問題になるのだと思いますが、内積を簡単にとるために普通はF↑をxyz方向で書くだけです。
F↑をxyzでなくαβγでとってもいいでしょう。
その内積をとる方法は面倒臭そうですがｗ

これは古典論の範囲ではまず問題ないですが、内積をとるベクトル空間が等価な場合であって、どんなときでも内積がとれるというわけではありません。

お礼

なるほど。Fxとxは同じ方向ではなくても内積は面倒臭いながらも
計算できるけど、
F↑とdr↑をそれぞれ(-kx,0),(dx,dy)とあらわしたときに
F・dr=(-kx)・dx+0・dyとかけるためには
Tacosanさんが書いている通り、
F↑とdr↑を表現するために使う基底 (座標系)
が一致している (かつ正規直交基底である)必要がある
ということですね。
ありがとうございました。