４次の行列式を順列を使って求めてください

質問

１行目から順に｜1 0 2 0｜,|0 3 0 0| ,|0 0 4 5|,|6 0 0 7|の行列式を求める解説のところに、「行列式の定義で、順列（1　2　3　4）　（３　２　４　１）に対応する２項以外は０」とあるんですが、分かりません。答えは264です。

回答No.1

aquarius_hiro

こんにちは。

行列式の定義は P を置換として、4×4行列なら

det(A) = Σ_P (-1)^P a_{1P(1)} a_{2P(2)} a_{3P(3)} a_{4P(4)}

ですよね。

> 順列（1　2　3　4）　（３　２　４　１）に対応する２項

とは、{P(1),P(2),P(3),P(4)} = (1,2,3,4) と (3,2,4,1) のことです。

それ以外は 0 ということは、

det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} a_{44} + a_{13} a_{22} a_{34} a_{41}

ということですね。

これを計算すると、

det(A) = 1・3・4・7 + 2・3・5・6 = 84 + 180 = 264

になります。

ところで、「順列（1　2　3　4）　（３　２　４　１）に対応する２項以外は０」ということを自分で確認しないと解答したことになりません。

例えば、こう考えます。一行目で a_11 をとったとき、二行目では a_22 をとる、三行目では 1列2列をとれないから、a_33かa_34をとる、
しかし、a_34をとると、最後の行では、a_43をとることになるがそれは 0。ゆえに、三行目では a_33 をとる。そして、四行目では a_44 をとる。その項が、a_{11} a_{22} a_{33} a_{44} 。

次に、一行目で a_13をとったとき、二行目は a_22 以外は 0、三行目では 3列2列以外をとるから、a_34以外は 0、四行目は1列しかとれないから、その項が、a_{13} a_{22} a_{34} a_{41}。

この二つ以外は全部、0 が入ります。

ちなみに、(-1)^P は P が偶置換なら +1、奇置換なら -1 です。
偶置換は偶数回の互換で到達できる置換、奇置換は奇数回の互換で到達できる置換です。今の例で残る二つの置換はどちらも偶置換です。