行列式の値を求める問題です

質問

一列から順に|000a| |00b0| |0c00| |defg|　の４次行列式の値は、行（列）を足したりして、0を並べて２次まで小さくすることで、うまくいったんですが、この問題が、順列を使って解く問題でして、
これに対応する順列って（4321）（1234）ですよね？　sgn（4321）abcd+sgn（1234）defgとなり、答えはabcdなんですが、合わずうまくいきません。 defgは皆４行にあるので順列で表現できませんか？　じゃあ、列に関して言えば1234ですよね？

回答No.1

aquarius_hiro

こんにちは。

答えは明らかに、abcd ですよ。

置換 (1,2,3,4) → (1,2,3,4) は行列式の定義の中で、

a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} = 0・0・0・g = 0

に対応していますから、寄与はありません。

この行列式に寄与のある置換は、各行から 0 でないものをとらなければなりませんから、

a_{14}a_{23}a_{32}a_{41} = a・b・c・d

のみです。これ以外は必ず 0 を含んでしまいます。
これは置換（あなたが言うところの順列） (4,3,2,1) に対応します。

> defgは皆４行にあるので順列で表現できませんか？　

できません。
(4,4,4,4) → (1,2,3,4) などというのは置換とはいえません。
行の番号(1,2,3,4)を置換したものが列の番号です。
(1,2,3,4) → (4,2.1,3) などのように ()の中に同じ数字は現れません。

実際、それらの成分を a_{iP(i)} の形で書くと、全部 i = 4 になってしまいますが、それでは、行列式の定義の a_{1P(1)}a_{2P(2)}a_{3P(3)}a_{4P(4)} の最初の3つのa_{ij}に使えませんね。

つまりこれは成分で書くと、a_{41}a_{42}a_{43}a_{44} ですが、そういう項は行列式の和の中には登場しません。同じ行から二つ以上とることはできないのです。なぜなら、1,2,3,4 を入れ替えたものでないといけないからです。a_{1P(1)}a_{2P(2)}a_{3P(3)}a_{4P(4)} のように。

> じゃあ、列に関して言えば1234ですよね？

列だけ違っていてもだめです。列も行も、両方とも重複しないようにとらないといけません。それが行列式の定義です。

a_{iP(i)} というのは、i行P(i)列ということです。

(1,2,3,4) → (4,3,2,1) という置換に対応する項は、
(1,2,3,4)がそれぞれ行の番号、(4,3,2,1)が対応する列の番号です。
列の番号だけ考えて、(4,3,2,1)といってもだめです。
置換する前の(1,2,3,4)が(4,4,4,4)になっていたらわけがわかりません。defgは行の番号が全部4なので行列式には寄与しないんです。