重積分の積分区間

質問

重積分の問題で、

∬√x　ｄｘｄｙ　（x^2+y^2≦x）

という問題が出て、答えが8/15なんですが、
この問題では積分区間をどのようにとればいいのでしょうか?

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

逐次積分法でx,yの積分区間を書けば、積分区間の対称性から
y≧0の範囲で積分して2倍すればいいことを考慮し、
逐次積分法を適用して積分することとすれば
x,yの積分区間は以下のように表される。

I=2∫[0→1](√x){∫[0→√(x-x^2)] 1 dy}dx
または
I=2∫[0→1/2]{∫[(1-√(1-4y^2))/2→(1-√(1-4y^2))/2] √x dx}dy

[考察]
積分は、より簡単に出来る方で積分を実行すればいいですね。
ここでは質問の趣旨に沿って、積分範囲の表し方が2通りあることを示した。
実際の積分は、このまま積分できれば直接積分すればいいですし、変数変換した方が積分しやすいなら変数変換して積分します。

回答No.1

Ae610

(x^2+y^2≦x)→((x-1/2)^2+y^2)≦1/4
の領域で考える！