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p^q=aのときq^pは？
タイトルとおりなのですが、p^q=aのときq^pをaの式で表せるでしょうか。 質問しておきながら、不可能な気がするんですけど、もし不可能ならその証明を教えていただきたいです。おねがいします。
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178tallさんが示している「一意性でない」が答えじゃないですか。 表せない証明ですか？ 反例をあげればいいのでは？ ２^6＝64 → ６^2＝36 ４^3＝64 → ３^4＝81 ８^2＝64 → ２^8＝256 「64」だけから、36,81,256を区別してもとめることはできない！！！
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トリック ? を一つだけ。 p^q = a のとき、 q^p = a^r ： r=p*Ln(q)/{q*Ln(p)}
まず、 a = p^q b = q^pとおくと、 bをaのみの式で表せるためには、a,bの関係式で表せなければならない かと思います。 もし、 c = p/q d = q/p と与えられているのであれば、 cd = 1という関係式で表せます。 これはcd平面上の双曲線ですね。 今度は、以下の場合について考えてみると、 c = 2pq d = p^2 + q^2 上記の(c,d)の範囲を図示すると、 d≧cとなり、その存在範囲は曲線ではなく、平面となるので、 c,dの関係を等式で表現する事は出来ません。 この場合、例えば、c = 5のとき、d≧5となるわけで、 dをcの式で表す事は不可能である事は言えますね．．。 このように、あるcの値に対してdの値が無数に存在するような場合 は曲線にはならないと思われます。 これを踏まえ、 a = p^q b = q^p の場合に(a,b)の存在範囲は曲線の式で表せるかを図示してみれば、 連続曲線の式では表せそうにありませんね。 例えば、a = 2のとき、 b = {(log 2)/(log p)}^pとなり、bはpの連続関数となり、 p > 1の範囲で考えてみても、取り得る範囲は、b > 0なので、 a = 2に対して、bの値は無数に存在する事となり、 bをaの式で表す事は不可能ではないでしょうか？ これでは、証明になってませんよね？
お礼
おっ おぉっっ！ おぉぉっっ！！ と、なるほど！と言う気持ちを高ぶらせながら読み進んできたのに、 >これでは、証明になってませんよね？ って最後に書かれて、いやいやいや ( @@)/シ って感じです。 まるで、これから来るか？来るか？……おわりかよ、という気持ちになった、初めてカリブの海賊に乗ったあんな気分ですよ。最近リニューアルしたんでしたっけ？ 一言で言うならば、いろいろな証明があるんですね。という感想です。 tarameさんのも立派な証明だと思いますし。 しかし純粋な気持ちで、p/q は q/p で表せるのに、p^q は q^p で表せないってのは不思議ですよね。（下にも書きましたが。へへ。）
正面攻撃は見通せません。、 とりあえず p^q = a =q^p …(1) が成立する条件でも調べてみましょう。 ---------------------- p/q = r とすれば、 q^p = (p/r)^(qr) = (a/r^q)^r = a*[p^{q*(r-1)}/r^p] であるから、 p^{q*(r-1)}/r^p = 1 のとき、式(1) が成立。 [例] p=2, q=4 の場合。 p^{q*(r-1)}/r^p = 2^{4*(-1/2)}/(1/2)^2 = 2^(-2)}*2^2 = 1 だから式(1) が成立する。 実際、2^4 = 4^2 = 16 。 ---------------------- このように p^q = a のとき q^p を a で書ける場合もあり、かえって一筋縄ではくくれない難問になっているようです。
お礼
リトライ(？)ありがとうございます >p^q = a のとき q^p を a で書ける場合もあり というかこの場合 a そのものですね。 別に、pとq に好きな整数（または嫌いな整数）を入れれば必ずaで表せると思います。 たとえば、p＝3 , q＝2のとき a＝9です。 ここで q^p＝8 なので q^p＝a－1 です。 表せました/(^^)/イェーイ …ってもちろんそんなことは無意味です。 >p^q = a のとき q^p を a で書ける場合もあり 再び同じ部分を引用してしまいましたが、これはできないことがあるということで、178tallさんはすでに結論を出してくださっているということですね。 ありがとうございました。
>b＝p/q のとき pもqも決定しないのに、q/p は明らかにbの式で表せます。（もちろんいずれも0でないとしますが） >これはどういうことでしょうか。 あ、トラップ(罠)でしたか。.... 軽率でした。 「p, q への二項演算で、その結果 a だけから計算可能な、他の二項演算」で考え直せ、ということですね。 ギブアップです。
お礼
はじめてギブアップという回答をもらいました。 別にトラックでもトラップでもありません。へへ。
>p^q=aのときq^pをaの式で表せるでしょうか。 a は実数なのでしょうね。 a「だけ」の式で表せるか、というのなら不可能。a → {p, q} は一意的に決まりませんから。 {a, p, q} が整数ならば、どうでしょう。 たとえば p が素数なら、p^q=a は a の素数分解とみなせますから、a → {p, q} が一意的に決まります。 つまり、a を素数分解して a=P^m の形になる場合なら、q^p = m^P として求める、というアルゴリズムが成立します。 ほかにも例はありませんでしょうか ?
補足
簡単のため、aもpもqも実数としてください。書き忘れてすみませんm(__)m 一意性は、私もこの質問を投稿する前にちょっと考えました。 しかしたとえば b＝p/q のとき pもqも決定しないのに、q/p は明らかにbの式で表せます。（もちろんいずれも0でないとしますが） これはどういうことでしょうか。 素数限定の考え方はちょっと研究（？）してみます。
お礼
おぉw(°o°)wなるほど いままで pとq の一意性のみに注目していました。 つまり、aを固定し、a＝p^q なる pとq を実際にいくつか見つけて q^p＝b を計算するとbは一通りではないから無理ってことですね。 「つまり」とか書いときながら余計わかりにくくなってしまった？！ でも、逆数の場合、同様の議論をすると、 s/t＝3/1＝51/17＝111/37とすると、 1/3＝17/51＝37/111＝t/sとなるのは不思議ですね。